1、专题突破练13求数列的通项及前n项和1.(2018河南郑州一模,理17)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2+a5=25,S5=55.(1)求数列an的通项公式;(2)设anbn=,求数列bn的前n项和Tn.2.已知an为公差不为零的等差数列,其中a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=,设bn的前n项和为Sn,求最小的正整数n,使得Sn.3.(2018山西太原三模,17)已知数列an满足a1=,an+1=.(1)证明数列是等差数列,并求an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=,求数列bn的前n项和Sn.4.(2018江西上饶三模,理17)
2、已知等比数列an的前n项和为Sn,且6Sn=3n+1+a(nN*).(1)求a的值及数列an的通项公式;(2)若bn=(3n+1)an,求数列an的前n项和Tn.5.已知数列an满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(nN*).(1)证明:数列an+1-an是等比数列;(2)求数列an的通项公式和前n项和Sn.6.已知等差数列an满足:an+1an,a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,an+2log2bn=-1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.7.(2018宁夏银川一中一模,理17)设Sn为数列an的前n项和,已知an0,
3、+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式:(2)设bn=,求数列bn的前n项和.8.设Sn是数列an的前n项和,an0,且4Sn=an(an+2).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,Tn=b1+b2+bn,求证:Tn1 008,故所求的n=1 009.3.(1)证明 an+1=,=2,是等差数列,+(n-1)2=2+2n-2=2n,即an=(2)解 bn=,Sn=b1+b2+bn=1+,则Sn=+,两式相减得Sn=1+=2,Sn=4-4.解 (1)6Sn=3n+1+a(nN*),当n=1时,6S1=6a1=9+a;当n2时,6an=6(Sn-Sn-1)=23n,即an=3n-1.
4、an为等比数列,a1=1,则9+a=6,a=-3,an的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)得bn=(3n+1)3n-1,Tn=b1+b2+bn=430+731+(3n+1)3n-1,3Tn=431+732+(3n-2)3n-1+(3n+1)3n,由-,得-2Tn=4+32+33+3n-(3n+1)3n,-2Tn=4+-(3n+1)3n,-2Tn=,Tn=5.(1)证明 an+2=3an+1-2an(nN*),an+2-an+1=2(an+1-an)(nN*),=2.a1=1,a2=3,数列an+1-an是以a2-a1=2为首项,公比为2的等比数列.(2)解 由(1)得,an+1-an=2
5、n(nN*),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1,(nN*).Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+(2n-1)=(2+22+23+2n)-n=-n=2n+1-2-n.6.解 (1)设等差数列an的公差为d,且d0,由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后成等比数列,得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2,an=1+(n-1)2=2n-1.an+2log2bn=-1,log2bn=-n,即bn=(2)由(1)得anbn=Tn=+,Tn=+,-,得Tn=+2+Tn=1+=3-=3-7.解
6、(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.两式相减,得+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).an0,an+1-an=2.+2a1=4a1+3,a1=-1(舍)或a1=3.则an是首项为3,公差d=2的等差数列,an的通项公式an=3+2(n-1)=2n+1.(2)an=2n+1,bn=,数列bn的前n项和Tn=+8.(1)解 4Sn=an(an+2),当n=1时,4a1=+2a1,即a1=2.当n2时,4Sn-1=an-1(an-1+2).由-得4an=+2an-2an-1,即2(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1).an0,an-an-1=2,an=2+2(n-1)=2n.(2)证明 bn=,Tn=b1+b2+bn=1-+1-
