1、对数函数的性质与图像(15分钟30分)1.函数f(x)=+的定义域是()A.B.C.D.0,1)【解析】选D.由题意可得即解得0x2或x-1B.x|-1x2C.x|-2x1或x0,解得:x2或x2或x-1.2.(2020全国卷)已知5584,13485,设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.abcB.bacC.bcaD.cab【解析】选A.易知a,b,c(0,1),=log53log58=1,所以ab.因为b=log85,c=log138,所以8b=5,13c=8,即85b=55,134c=84又因为5584,13455=85b134b,即bc.综上所述:abc.3.若
2、loga1,则a的取值范围是()A.B.C.D.(1,+)【解析】选D.由loga1得:loga1时,有a,即a1;当0a1时,则有0a0且a1)的定点,其中mn0,则+的最小值为_.【解析】由题意可得g(x)过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-3=0上,所以m+n=3,则+=(m+n)=(2+2)=,当且仅当 =且m+n=3,m=n=时取等号.答案:6.已知函数f=loga,g=loga,.(1)设a=2,函数g(x)的定义域为-15,-1, 求g(x)的最大值.(2)当0a0的x的取值范围.【解析】(1)当a=2时,g=log2,在上为减函数,因此当x=-15时g的最大值为4 .(
3、2)f-g0,即fg,所以当0aloga,满足所以-1x0,故当0a0的解集为.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2019天津高考)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.abcC.bcaD.cab【解析】选A.0a=log52log0.50.5=1,1=0.50c=0.50.20.51=,所以aclog(a-1)(x-1),则有()A.1a0B.1a1C.a2,x0D.a2,x1【解析】选D.当a2时,a-11,由解得x1;当1a2时,0a-1g,则x 的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.由题意
4、,因为g=-f=g(x),所以g(x)为偶函数,又因为f(x)是上的增函数,所以g(x)是上的减函数,又因为gg,所以gg,所以1,解得xf(4-a),则实数a的取值范围是()A.(1,2)B.(2,3)C.(1,3)D.(2,4)【解析】选A.函数f(x)=的定义域为,由f(a)f(4-a)可得:即化为:或解得1a2.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列函数表达式中,是对数函数的有()A.y=logx B.y=ln xC.y=2log4xD.y=log2(x+1)【解析】选AB.按对数函数的定义式判断.6.已知0ab,a+b=1,则下
5、列不等式中,正确的是()A.log2a0B.2a-bC.4D.log2a+log2b-2【解析】选AD.因为0ab且a+b=1,所以0ab1,-1a-b0,所以log2a2-1=,B错误;因为+2=2(当且仅当=,即a=b时取等号),又0a2,所以22=4,C错误;因为ab=(当且仅当a=b时取等号),又0ab,所以0ab,所以log2a+log2b=log2(ab)0,f(10-2)=lg 10-2,令lg 10-2=a,则10a=10-2,所以a=-2,所以f(f(-2)=-2.答案:-28.已知函数f(x)=(a0且a1)在R上单调递减,则a的取值范围是_.【解析】由分段函数在R上单调递
6、减可得0a1,又因为二次函数图像开口向上,所以-0,解得a 且(x1时,f(x)=2a+ln x2a;当x1时,f(x)=a+1-x2a+1.要使函数f(x)的值域为R,需满足2aa+1,即a1.答案:(-,1四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=lg(ax2+x+1).(1)若a=0,求不等式f(1-2x)-f(x)0的解集;(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.【解析】(1)a=0时,f(x)=lg(x+1),所以f(1-2x)-f(x)=lg(2-2x)-lg(x+1)0,所以lg(2-2x)lg(x+1),所以2-2xx+10,所以x.(2)因为f(x)
7、的定义域是R,所以得ax2+x+10恒成立.当a=0时,显然不成立,当a0时,由解得a.综上a.10.(2020天津高一检测)已知函数f(x)=logax(a0,且a1)在上的最大值为2.(1)求a的值;(2)若0a0成立的x的取值范围.【解析】(1)由题意,当a1时,函数f(x)=logax在上单调递增,因此f(x)max=f(2)=loga2=2,解得a=;当0a0,得loga(f(x)-2)loga1,又因为0a1,根据对数函数的性质,可得0f(x)-21,即2x3,解得x0,且a1).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)求不等式f(x)0 的解集.【解析】(1)由0得-1x1时,由f(x)0,即loga0,得1,解得-1x0;当0a0,即loga0,得01,解得0x1时,不等式f(x)0的解集为;当0a0的解集为.【补偿训练】已知函数f=log2.(1)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(2)解不等式f0-1x1, 所以f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,任取x(-1,1), 则-x(-1,1),f(-x)+f(x)=log2+log2=log2=log21=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)由(1)知-1x1,log2-1,所以2-1=,-=0,所以x1.又因为-1x1,所以-1x-.综上,不等式f(x)-1的解集为.
