1、课堂导学三点剖析一、利用柯西不等式证明不等式【例1】 设、（0，），试用柯西不等式证明9.证明:又cos2sin2sin2+sin2cos2=1,(cos2+sin2sin2+sin2cos2)()(1+1+1)2=9.9.温馨提示 由于右式常数为9=(1+1+1)2,因此左式应有三项，于是想到把拆成两项.凑项、凑常数是柯西不等式证题时常用的一种基本技巧.各个击破类题演练1设a、b、cR+，证明(a+b+c).证明:a、b、c0，2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a).(b+c)+(c+a)+(a+b)()(a+b+c)2.(a+b+c).变式提升1设x1，x2,，xnR+,求证
2、：x1+x2+xn.证明:x1,x2,xnR+,(x2+x3+x4+xn+x1)()(x1+x2+xn)2.x1+x2+xn.温馨提示 为了证明不等式，把x1+x2+xn中的x1的位置移至最后，在应用柯西不等式时解决了大问题，不要小瞧这一小小的技巧哟!二、利用柯西不等式证条件不等式【例2】 a、b、cR+，且a+b+c=1,求证：(a+)2+(b+)2+(c+)2.证明：(12+12+12)(a+)2+(b+)2+(c+)2(a+)+(b+)+(c+)2=1+(+)2,而(a+b+c)(+)(1+1+1)2=9,即+9,1+(+)2100.(a+)2+(b+)2+(c+)2.温馨提示 证明条件
3、不等式的关键是如何恰当地利用好条件.本题注意到要证的不等式左边是平方和的形式，而已知条件中a+bc=1是一次式，于是想到利用柯西不等式变形，建立起a、b、c之间的关系，以便用上条件.类题演练2已知a1,a2,an都是正数，且a1+a2+an1，求证：(a1+)2+(a2+)2+(an+)2.证明:原不等式等价于n(a1+)2+(a2+)2+(an+)2(n2+1)2.(12+12+12)(a1+)2+(a2+)2+(an+)2(a1+)+(a2+)+(an+)2=1+(+)2,又由调和平均数算术平均数知,+n2，代入式即得.变式提升2a、b、c、dR，且求证：1a2.证明:(b+c+d)2=(
4、)2(b)2+(c)2+(d)2()2+()2+()2=(2b2+3c2+6d2)(+)=2b2+3c2+6d2,而b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,(3-a)25-a2,解得1a2.三、利用柯西不等式解决其他问题【例3】 （1）第七届美国数学奥林匹克试题 设实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.解析：由已知得a+b+c+d=8-e，a2+b2+c2+d2=16-e2，所以(8-e)2=(a+b+c+d)2(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简得5e2-16e00e,所
5、以emax=.（2）求实数x,y,z,使它们同时满足2x+3y+z=13(1),4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82(2).解析：可令x1=2x,x2=3y+3,x3=z+2,则x1+x2+x318且x12+x22+x32108，由此及柯西不等式得182=(x1+x2+x3)2(x12+x22+x32)2（12+12+12）=1083,上式等号成立其充要条件是x1=x2=x3=6x=3,y=1,z=4.所以3,1,4是所求实数x,y,z的值.类题演练3已知x+y+z=1，求2x2+3y2+z2的最小值.解析:（2x2+3y2+z2）(+1)(x+y+z)2=1,2x2+3y2+z2,所求最小值为.变式提升3设x,y,zR且+=2(1),+=1(2),则的值是( )A.1 B. C. D.不存在解析:设x1=,y1=,z1=,则x1+y1+z1=2,x12+y12+z12=1,根据柯西不等式得22=(x1+y1+z1)2(x12+y12+z12)(12+12+12)=13=3,显然这个不等式不能成立，所以由(1)(2)所组成的方程组无解，故所求值不存在.答案:D
