1、课堂导学三点剖析一、利用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式【例1】 (1)已知aiR+(i=1,2,3,n),且a1a2an=1. 求证:(2+a1)(2+a2)(2+an)3n.(2)已知a,b,cR+,a+b+c=1,求证:+9.证明：(1)a10,2+a1=1+1+a130.同理,2+a2=1+1+a20,2+an=1+1+an0,(2+a1)(2+a2)(2+an)3n=3n.原不等式成立.(2)a+b+c3,a+b+c=1,.3.+39.原不等式成立.温馨提示 在利用三元均值不等式证明不等式时,要注意把握三元均值不等式的结构特点,以便灵活地用于解题.各个击破类题演练1设a,b,c
2、0,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc.证法一:左边=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)3+3=6abc,原不等式成立.证法二:左边=(ba2+bc2)+(ab2+ac2)+(ca2+cb2)2abc+2abc+2abc=6abc,原不等式成立.变式提升1设a,b,c0,求证:.证明:(+1)+(+1)+(+1)=(a+b+c)()=(a+b)+(c+b)+(c+a)()3,.二、利用三个正数的算术几何平均不等式求最值【例2】 求函数f(x)=x(5-2x)2(0x)的最大值.解析：f(x)=4x(5-2x)(5-2x)()3=.当且仅当4x=5-
3、2x,即x=时等号成立.当x=时,函数f(x)=x(5-2x)2(0x)有最大值.温馨提示 在利用均值不等式求最值时,除了注意“一正”“二定”“三相等”之外,还应掌握配项,凑系数等变形技巧.类题演练2求y=sincos2(0y乙,即乙购粮平均价格低.变式提升3试研究(1)若长方体的容积已定,何时其表面积最小?(2)若长方体的表面积已定,何时其体积最大?解析:设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,表面积为S,体积为V,则S=2(ab+bc+ca),V=abc.ab+bc+ca,即S6(当且仅当ab=bc=ca,即a=b=c时,取“=”),所以(1)由V为定值知,当a=b=c,即长方体为正方体时,S最小,最小值为6;(2)由S为定值,与V(当且仅当a=b=c时,取“=”)知当长方体为正方体时,V最大,最大值为.
