1、课堂导学三点剖析一、求曲线的参数方程【例1】 设质点沿以原点为圆心,半径为2的圆作匀速(角速度)运动,角速度为 rad/s,试以时间t为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.解：如图,运动开始时质点位于A处,此时t=0,设动点M(x,y)对应时刻t,由图可知又=t,得参数方程为t(t0).各个击破类题演练 1求3x+4y+7=0的参数方程.解:令x=t,则y=(3t+7).参数方程为变式提升 1已知(为参数),判断曲线类型.解:由平方关系得=1,即上述参数方程表示的是椭圆.二、化参数方程为普通方程【例2】 化为普通方程.解：整理，得由sin2t+cos2t=1得(x-1)2+(y+2)2=16.温
2、馨提示 掌握好参数的取值范围,注意所用的消元法的选择.正确的选择是解题的关键.对于正弦、余弦来说,重要的一个关系即是平方关系:sin2+cos2=1.类题演练 2化为普通方程.解:由sin2t+cos2t=1得=1.变式提升 2设直线的参数方程为求P(-1,1)到直线的距离d.解:整理,得x-2=y-2x+5=0.d=.三、参数方程与轨迹【例3】 已知圆x2+y2=1,点A(1,0),ABC内接于该圆,且BAC=60,当B、C在圆上运动时,求BC的中点的轨迹方程.解：如图(1)所示,M为BC的中点, 由BAC=60,得BOC=260=120(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍), 在BOC
3、中,OB=OC=1OM=.所以点M的轨迹方程为x2+y2=.又因为x时,如图(2),虽然BOC=120,但BAC= (360-120)=12060,所以点M的轨迹方程为x2+y2=(x),如图(1).温馨提示 利用消元法,实现参数方程与普通方程互化,解决距离问题、最值问题、交点问题及类型的判断问题,一般把参数方程化为普通方程来解.类题演练 3一直线过点(2,1),且与向量(-1,1)平行,(1)求参数方程;(2)求P(-1,-2)到直线的距离d.解:(1)直线斜率k=-1,倾斜角135,则(t为参数).(2)化为x+y-3=0,d=.变式提升 3已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数,aR),点M(5,4)在该曲线上.(1)求常数a;(2)求曲线C的普通方程.解:本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程,从而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程.(1)由题意可知,有故a=1.(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为由第一个方程得t=,代入第二个方程,得y=()2,即(x-1)2=4y为所求.
