1、一圆周角定理1了解圆心角定理，并能解决问题2理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题1圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言符号语言在O中，所对的圆周角和圆心角分别是BAC，BOC，则有BAC_BOC作用确定圆中两个角的大小关系定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系【做一做1】如图所示，在O中，BAC25，则BOC等于()A25 B50C30 D12.52圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对_的度数图形语言符号语言A，B是O上两点，则弧的度数等于_的度数作用确定圆弧或圆心角的度数【做一做2】如图所示，两个同心圆中，的
2、度数是30，且大圆的半径R4，小圆的半径r2，则的度数是_3圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角_；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”；(3)由弦相等推出弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧(4)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系简单地说，就是圆心角相等能推出弧相等，进而能推出弦相等【做一做31】如图所示，在O中，BAC60
3、，则BDC等于()A30 B45C60 D75【做一做32】如图所示，AB是O的直径，C是上的一点，且AC4，BC3，则O的半径r等于()A B5C10 D不确定答案：基础知识梳理1【做一做1】B根据圆周角定理，得BOC2BAC50.2弧AOB【做一做2】30的度数等于AOB，又的度数等于AOB，则的度数是30.3(1)相等相等(2)90直径【做一做31】CBDCBAC60.【做一做32】AAB是O的直径，ACB90.AB5.2rAB5.r.相等的圆周角所对的弧不一定相等剖析：“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图若ABDG，则BACEDF，但.题型一 求线段
4、的长【例题1】如图，ABC的三个顶点都在O上，BAC的平分线与BC边和O分别交于点D，E.(1)指出图中相似的三角形，并说明理由；(2)若EC4，DE2，求AD的长分析：(1)本题证三角形相似要用三角形相似的判定定理，而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出；(2)要求线段长度，先由三角形相似得线段成比例，然后再求其长度反思：求圆中线段长时，常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形，从而得到成比例线段，再列方程求得线段长题型二 证明线段相等【例题2】如图，BC为圆O的直径，ADBC，BF和AD相交于E，求证：AEBE.分析：要证AEBE，只需在ABE中证明ABEEAB，而要证这两个角相等，只需
5、借助ACB即可反思：(1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略(2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题题型三 易错辨析易错点误认为同弦或等弦所对圆周角相等【例题3】如图所示，BAD75，则BCD_.错解：BAD和BCD所对的弦都是BD，BADBCDBCD75.错因分析：错解中，没有注意到圆周角BAD和BCD所对的弧不相等，导致得到错误的结论BADBCD反思：同弦或等弦所对的圆周角不一定相等当弦是直径时，同弦或等弦所对的圆周角
6、相等，都等于90；当弦不是直径时，该弦将圆周分成两条弧：优弧和劣弧，若圆周角的顶点同在优弧上，或同在劣弧上，同弦或等弦所对的圆周角相等；若一个圆周角的顶点在优弧上，另一个圆周角的顶点在劣弧上，则同弦或等弦所对的圆周角不相等，它们互补(如本题)答案：【例题1】解：(1)AE平分BAC，BADEAC.又BE，ABDAEC.BE，BAEBCE，ABDCED，AECCED.(2)CEDAEC，.CE2EDAE，162AE，AE8.ADAEDE6.【例题2】证明：BC是O的直径，BAC为直角又ADBC，RtBDARtBAC.BADACB.，FBAACB，BADFBA.ABE为等腰三角形AEBE.【例题3
7、】正解：BAD是所对的圆周角，BCD是所对的圆周角，则所对的圆心角为275150，又和所对圆心角的和是周角360，所对圆心角是360150210，所对圆周角BCD210105.1如图所示，弦AC与BD相交于圆内一点P，且AB10，CD5，BP8，则PC_.2(2011湖南高三十二校联考)如图，AC是O的直径，B是圆上一点，ABC的平分线与O相交于点D，已知BC1，AB，则AD_.3如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使ACAB，求证：BDDC4已知AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径，AD的延长线交外接圆于F，求证：.5如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点
8、E.(1)证明：ABEADC；(2)若ABC的面积SADAE，求BAC的大小答案：14AD，CB，ABPDCP.，解得PC4.2如图所示，连接OD，由于AC是O的直径，则ABC90.又BC1，AB，则AC2，所以OAODAC1.又AOD2ABDABC90，故AOD是等腰直角三角形，则ADOA1.3证明：如图，连接AD.AB是O的直径，ADB90，即ADBC.又ACAB，BDCD.4分析：转化为证明BAEFAC，再转化为证明ABEADC.证明：AE是直径，ABE90.又ADC90，ADCABE.又AEBDCA，ABEADC.BAEFAC，.5分析：(1)证明这两个三角形的两个角对应相等；(2)利用(1)的结论，和三角形面积公式的正弦形式，转化为求sinBAC.(1)证明：AD平分BAC，BAECAD.又AEB与ACB是同弧上的圆周角，AEBACD.ABEADC.(2)解：ABEADC，即ABACADAE.又SABACsinBAC，且SADAE，ABACsinBACADAE.sinBAC1.又BAC为三角形的内角，BAC90.
