1、6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理新知初探自主学习突出基础性知识点一共线向量的基本定理一般地，有如下共线向量基本定理：如果a0且ba，则存在唯一的实数，使得ba.状元随笔在共线向量基本定理中：(1)ba时，通常称为b能用a表示(2)其中的“唯一”指的是，如果还有ba，则有.这是因为：由aa可知()a 0 ，如果0，则a 0 ，与已知矛盾，所以0，即.知识点二平面向量的基本定理一般地，有如下平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxayb.状元随笔平面向量基本定理的理解(1)e1，e2是同一平面内的两个不共
2、线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底(2)平面内的任一向量a都可以沿基底进行分解(3)基底e1，e2确定后，实数1、2是唯一确定的基础自测1.已知向量a与b共线反向，则下列结论正确的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C|ab|a|b| D|ab|a|b|2设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：AD与AB；DA与BC；CA与DC；OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A BC D3已知ABC的边BC上有一点D，满足BD3DC，则AD可表示为()AAD34AB+14AC BAD14AB+34ACCAD2AB3AC DAD23
3、AB+13AC4如图所示，向量OA可用向量e1，e2表示为_课堂探究素养提升强化创新性题型1平面向量基本定理的理解经典例题例1设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(写出满足条件的序号)由基底的定义知，平面内两个不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可【解析】设e1e2e1，则=1，1=0，无解，e1e2与e1不共线，即e1与e1e2能作为一组基底设e12e2(e22e1)
4、，则(12)e1(2)e20，则1+2=0，2+=0，无解，e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1能作为一组基底e12e212(4e22e1)，e12e2与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不能作为一组基底设e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，则1-=0，1+=0，无解，e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1-e2能作为一组基底【答案】方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来设向量a与b是平面内
5、两个不共线的向量，若x1ay1bx2ay2b，则x1=x2y1=y2提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样跟踪训练1下面三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可以作为基底中的向量其中正确的说法是()A.BCD平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底题型2共线基本定理教材P155例3例2已知a与b不共线，而且axb与3a2b共线，求x的值教材反思共线向量定理的应用
6、(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线，若存在实数，使ABAC，则A，B，C三点共线(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒：证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点跟踪训练2(1)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_(2)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA3OB2OC0，则ABBC等于_状元随笔(1)由a+b与a2b共线，得a+bt(a2b)再解方程组求(2)利用共线求AB与BC的关系题型3用基底表示平面向量经典例题例3如图，OA，OB不共线，且APtAB(tR)，用OA，OB表示O
7、P.结合图形，利用OA、OB表示OP方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解跟踪训练3如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若ABa，ADb，试用a，b表示向量DE，BF.解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来62.1向量基本定理新知初探自主学习基础自测1解析：因为向量a与b共线反向，所以|ab|a|b|，|ab|0，而|a|b|的符号不确定
8、，所以A，B不正确同理，D不正确，C显然正确答案：C2解析：AD与AB不共线；DABC，则DA与BC共线；CA与DC不共线；ODOB，则OD与OB共线由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故满足题意答案：B3解析：由BD3DC，得ADAB+BDAB+34BCAB+34（AC-AB）14AB+34AC.答案：B4解析：由图可知，OA4e13e2.答案：OA4e13e2课堂探究素养提升跟踪训练1解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B项正确答案：B例2
9、【解析】因为a与b不共线，所以3a2b0，因此由已知可得存在实数t，使得axbt(3a2b)，即axb3ta2tb，从而1=3t，-x=2t，解得x23.跟踪训练2解析：(1)ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，=t，1=2t，解得=12，t=12.(2)由已知得，OA-OB2(OB-OC)，AB2BC，ABBC2.答案：(1)12(2)2例3【解析】因为APtAB，所以OPOA+APOAtABOAt(OB-OA)OAtOBtOA(1t)OAtOB.跟踪训练3解析：DEDA+AB+BEAD+AB+12BCAD+AB+12ADa12b.BFBA+AD+DFAB+AD+12ABb12a.
