1、江苏省吴江2020-2021学年高一下学期期中数学试题一、单选题（共8题；共40分）1. 下列命题：钝角是第二象限的角；小于的角是锐角；第一象限的角一定不是负角；第二象限的角一定大于第一象限的角；手表时针走过2小时，时针转过的角度为；若，则是第四象限角.其中正确命题的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2. 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 3.已知函数，为其图像的对称中心，是该图像上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，4.欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单位），此结论被称为“欧拉
2、公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，（ ）A. 1B. 0C. -1D. 5.甲船在湖中岛的正南处，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船从岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶半小时，两船的距离是（ ）A. B. C. D. 6.已知，且，则的值是（ ）A. B. C. D. 7.在中，角，所以对的边分别为，若，的面积为，则（ ）A. B. C. 或D. 或38.已知中，为所在平面内一点，且，则的值为（ ）A. -4B. -1C. 1D. 4二、多选题（共4题；共20分）9.已知复数的实部与虚部之和为-2，则的取值可能为（ ）A. B.
3、 C. D. 10.在中，.若，则的值可以等于（ ）A. B. C. 2D. 311.甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（ ）A.甲楼的高度为B.甲楼的高度为C.乙楼的高度为D.乙楼的高度为12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A.最小正周期是B.是偶函数C.在上递增D.是图象的一条对称轴三、填空题（共4题；共20分）13.定义运算，则符合条件的复数对应的点在第_象限.14.在中，若，则的取值范围为_.15.若函数的图象关于点对称，则实数_.16.在中，角，的对边，为三个连续偶数，且，则_，最大角的余弦值为_.四、解答题（共6题；共70分
4、）17.已知，向量，.（1）若向量与平行，求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.18.已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若，求的值.19.在中，角，的对边分别是，且.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.20.在锐角中，角，的对边分别为，已知.（1）若，求；（2）求的取值范围.21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，、三点满足.（1）求证：、三点共线； （2）已知、，的最小值为5，求实数的值.22.如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达处，休息后继续行驶到达山顶.（1）求山的高度；（2）现山顶处有一塔从
5、到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为（）若点处高度，则为何值时，视角最大？答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.【答案】 B 【考点】象限角、轴线角，弧度制、角度制及其之间的换算 【解析】【解答】对于：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角. 故正确；对于：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角. 故错误；对于：显然是第一象限角.故错误；对于：是第二象限角，是第一象限角，但是.故错误；对于：时针转过的角是负角.故错误；对于：因为，所以，是第四象限角.故正确.综上，正确.故选：B.【分析】利用象限角的判断方法结合角度制与弧度制的互化方法，进而结合已知条件找出正确命题的个数.2.【答
6、案】 D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】解：设，则，因为，所以，所以在如图所示有阴影上，因为表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为，所以的最大值为.故选：D.【分析】设，再利用复数的加法运算法则结合复数的模求解公式，进而结合已知条件因为，推出，再利用复数的模的几何意义，得出表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为，再结合几何法求出的最大值.3.【答案】 D 【考点】函数的单调性及单调区间，图形的对称性 【解析】【解答】因为为图象的对称中心，所以，因为，是该图象上相邻的最高点和最低点，所以，因此，有，化简得，.故选：D.【分析】因为为图象的对称中心，再利用换元法将正
7、弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称中心，所以，因为、是该图象上相邻的最高点和最低点，所以，进而求出正弦型函数的最小正周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，从而结合的取值范围求出的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的单调递增区间.4.【答案】 C 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】根据，可知.故选：C.【分析】利用欧拉公式结合代入法和诱导公式，进而求出的值.5.【答案】 C 【考点】余弦定理的应用 【解析】【解答】如图， 行驶半小时后，设
8、甲船到达，乙船到达，依题意可知，且，在中，由余弦定理得：，所以，即半小时后，两船的距离是.故选：C.【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出行驶半小时后两船的距离.6.【答案】 A 【考点】两角和与差的正切公式 【解析】【解答】，.故选：A.【分析】利用已知条件结合角之间的关系式，再利用两角和的正切公式，进而求出角的正切值，再利用角之间的关系式结合两角和的正切公式，进而求出的值，再利用，从而结合不等式的基本性质，进而求出角的取值范围，从而选出满足要求的角的值.7.【答案】 D 【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】由，由正弦定理得，又，得，得，得，又，得，则，则，由
9、余弦定理，得，得或.故选：D.【分析】利用已知条件结合正弦定理，和三角形面积公式，得出的值，再利用，进而求出的值，再结合代入法求出角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出角的余弦值，再结合余弦定理，进而求出的值.8.【答案】 B 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】.【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，进而结合数量积的定义，从而求出数量积的值.二、多选题（共4题；共20分）9.【答案】B，C【考点】复数的基本概念【解析】【解答】由题得，所以，所以，所以或，因为，所以，.故选：BC【分析】利用已知条件复数的实部与虚部之和为-2，再结合复数的实部与虚部的定义，得，再利用二
10、倍角的余弦公式，进而解一元二次方程求出角的余弦值，再利用角的取值范围，进而求出满足要求的角的值.10.【答案】A，D 【考点】两角和与差的正弦公式，运用诱导公式化简求值，正弦定理 【解析】【解答】因为，所以，在中，因为，所以，即，解得或，当时，因为，所以，当时，由正弦定理得：，所以，综上所述：或.故选：AD【分析】利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式和两角和的正弦公式，进而推出，在中，因为，所以，解得或，再利用分类讨论的方法结合已知条件，再结合正弦定理，进而求出的值.11.【答案】A，C 【考点】余弦定理的应用 【解析】【解答】如图示， 在中，在中，设，由余弦定理得：，即，解得：，则乙
11、楼的高度分别为.故答案为：AC【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出甲楼和乙楼的高度.12.【答案】A，B，C 【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，三角函数的周期性及其求法，图形的对称性 【解析】【解答】.对选项A，故A正确.对选项B，所以是偶函数，故B正确.对选项C，由余弦函数的单调性可知C正确.对选项D，或，故D错误.故选：ABC【分析】利用同角三角函数基本关系式结合二倍角的正弦公式和余弦公式，将函数转化为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式求出余弦型函数的最小正周期，再利用偶函数的定义判断出余弦型函数为偶函数，再利用换元法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函
12、数的图像判断出余弦型函数在给定区间的单调性，再结合余弦函数的图像求出余弦型函数得一条对称轴，从而选出说法正确的选项.三、填空题（共4题；共20分）13.【答案】 二 【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：由题意将，化简得，所以，所以复数对应的点在第二象限.故答案为：二.【分析】利用定义运算，结合已知条件，化简得，再利用复数的乘除法运算法则求出复数，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数的共轭复数，再利用复数的几何意义，进入求出共轭复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限.14.【答案】【考点】平面向量数量积的含义与物理意义
13、，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】，即，设，则，代入得：，整理得：，要使关于的方程有根，只需，解得：，所以的取值范围为.故答案为：.【分析】利用已知条件结合数量积的定义，得出的值，再利用已知条件结合数量积的运算法则，得出，设，则，代入，整理得，要使关于的方程有根结合判别式法，进而求出的取值范围，从而求出的取值范围.15.【答案】 3 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，图形的对称性 【解析】【解答】由题得，所以，所以，当时，函数的图象关于点对称.故答案为：3.【分析】利用函数的图象关于点对称，得，进而求出的值.16.【答案】8；【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【解答】解
14、：设，分别为，因为，所以，即，由正弦定理得，所以，化简得，所以，化简，整理得，解得或（舍去），所以，所以角最大，所以.故答案为：8，.【分析】 在中，因为角，的对边，为三个连续偶数，所以设，分别为，因为，所以，再结合二倍角的正弦公式和正弦定理、余弦定理，化简得，所以，化简整理得，进而求出的值，从而求出，的值，再利用大边对应大角，所以角最大，再利用余弦定理求出角的余弦值.四、解答题（共6题；共70分）17.【答案】（1）解：由向量，所以，又与平行，所以，解得或.（2）解：若向量与的夹角为锐角，则，解得；由（1）知，当时，与平行，所以的取值范围是.【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积表示
15、两个向量的夹角【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和共线向量的坐标表示，进而求出的值.（2）利用数量积求向量夹角公式结合向量与的夹角为锐角，则，从而求出的取值范围，由（1）知，当时，与平行，从而求出实数的取值范围.18.【答案】（1）解：图象相邻两个最高点的距离为，的最小正周期为，又解得：.的图象关于直线对称，又，解得：.（2）解：由（1）知，所以.因为，所以，所以，所以.【考点】两角和与差的余弦公式，三角函数的周期性及其求法，图形的对称性，同角三角函数间的基本关系【解析】【分析】(1)利用函数图象相邻两个最高点的距离为，从而求出正弦型函数的最小正周期，再利用正弦型函数的最小正
16、周期公式，进而求出的值，再利用函数图象关于直线对称结合的取值范围，进而求出的值. （2）由（1）知函数的解析式为，再结合代入法得出，再利用角的取值范围结合同角三角函数基本关系式，进而求出的值 ， 再利用角之间的关系式结合两角差的余弦公式，进而求出的值.19.【答案】（1）解：，即.又，由余弦定理得：，配方得：，所以.（2）解：，的取值范围是.【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值，余弦定理【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的定义，进而求出的值，再利用余弦定理结合配方法，进而求出的值.（2）利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质，得出，再利用两角差的正弦公式结合三角形这角的
17、取值范围，进而结合余弦型函数的图像，从而求出的取值范围.20.【答案】（1）解：由，得，得，得，在，由余弦定理，得，即，解得或.当时，即为钝角（舍），故符合.（2）解：由（1）得 ，所以，为锐角三角形，故的取值范围是.【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出角的余弦值，再利用三角形中角的取值范围，进而求出角的值，再利用余弦定理，进而求出的值，再利用分类讨论的方法，进而找出满足要求的的值.（2）由（1）得，再利用三角形内角和为180度的性质，所以，再利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式，从而得出，再利用三角形为锐角三
18、角形，从而求出角的取值范围，再结合正弦型函数的图像，进而求出的取值范围.21.【答案】（1）证明：因为，所以，又与有公共点，所以，三点共线.（2）解：因为，所以，故，从而，关于的二次函数的对称轴为，因为，所以，又区间的中点为.当，即时，当时，由得或，又，所以；当，即时，当时，由得，又，所以.综上所述：的值为-3或.【考点】向量的共线定理，平面向量的坐标运算，数量积的坐标表达式，三点共线【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形法则，得出，再结合向量共线定理，所以，又因为与有公共点，所以，三点共线. （2）利用已知条件结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再结合平面向量基本定理结合向量的坐标
19、运算，得出，再利用数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，得出，从而结合同角三角函数基本关系式，进而求出函数的解析式，再利用二次函数的图像求最值的方法结合分类讨论的方法，进而求出函数的最小值，再结合函数的最小值为5，进而求出的值.22.【答案】（1）解：因为，为锐角，所以，所以，在中，过作于，因为，所以，在中，所以山的高度为.（2）解：过作于，因为，所以，因为在上，所以，所以，所以，令，则，所以，当且仅当，即，时，取得最大值，所以当时，视角最大.【考点】两角和与差的正切公式，三角函数模型的简单应用 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，再利用角为锐角，进而求出，再利用角之间的关系式结合两角差的余弦公式，进而求出的值，在中，过作于，因为， 再利用余弦函数的定义，进而求出的长， 在中结合余弦函数的定义，进而求出的长，从而求出山的高度.（2）过作于，因为，所以，因为在上，所以，再利用正切函数的定义求出，的值，再利用两角差的正切公式，进而求出，令，则，从而结合均值不等式求最值的方法，进而求出当，时，取得最大值，所以当时，视角最大.
