1、第二章平面解析几何2.1 坐标法课标解读课标要求素养要求1.探索并掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式.2.进一步体会“坐标法”的基本思想，逐步学会用“坐标法”解决有关问题.直观想象能用两点间的距离公式及坐标法解决几何问题.自主学习必备知识见学用40页教材研习教材原句要点一平面直角坐标系中的基本公式1.平面直角坐标系内两点之间的距离公式如果A点对应的 有序实数为(x,y)（即A的坐标为(x,y1)，记作A(x1,y1)，其中x1为A的横坐标，y1为A的纵坐标），且B(x2,y2)，则向量AB= (x2-x1,y2-y1)，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式|AB|=|AB|=(
2、x2-x1)2+(y2-y1)2 .2.平面直角坐标系内两点之间的中点坐标公式若M(x,y)是线段AB的中点，则 AM=MB，从而可以得到平面直角坐标标系内的中点坐标公式x=x1+x22,y=y1+y22要点二坐标法通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为 代数问题，然后通过代数运算等解决问题.这种解决问题的方法称为坐标法.自主思考1.点P1(0,a),P2(b,0)之间的距离是多少？答案：提示|P1P2|=a2+b2 .2.已知A(-8,-3),B(5,-3)，则线段AB的中点坐标是什么？答案：提示(-32,-3) .3.对于一个平面图形,建立平面直角坐标系的原则是什么？答案：提示 要使尽可
3、能多的已知点、直线落在坐标轴上；若图形中有互相垂直的两条直线，则考虑将其作为坐标轴；考虑图形的对称性，可将图形的对称中心作为原点，将图形的对称轴作为坐标轴. 名师点睛坐标法解决问题的基本步骤如下：第一步，根据题中条件，建立恰当的坐标系，用坐标表示有关的量；第二步，进行有关代数运算；第三步，把代数结果转化成几何关系.互动探究关键能力见学用40页探究点一两点间距离公式的应用精讲精练例已知ABC的三个顶点分别为A(-a,0)，B(a,0)，C(0,3a) .求证：ABC是等边三角形.答案：证明由两点间的距离公式得|AB|=(a+a)2+(0-0)2=2|a|，|BC|=(0-a)2+(3a-0)2=
4、2|a|，|AC|=(0+a)2+(3a-0)2=2|a| .|AB|=|BC|=|AC|，故ABC是等边三角形.解题感悟（1）判断平面多边形的形状或判断点之间的关系时，若已知点的坐标，一般转化为两点间的距离求解.（2）根据边长判断三角形形状的结论主要有：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.迁移应用1.已知A(-1,-1),B(3,5),C(5,3)，试判断ABC的形状.答案：|AB|=3-(-1)2+5-(-1)2=42+62=52=213，|AC|=5-(-1)2+3-(
5、-1)2=62+42=52=213，|BC|=(5-3)2+(3-5)2=22+(-2)2=8=22 .所以|AB|=|AC|BC|，且三边长不满足勾股逆定理，所以ABC为等腰三角形.2.已知点A(-3,4),B(2,3)，在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，求|PA|的值.答案：设点P(x,0)，则有|PA|=(-3-x)2+(4-0)2=x2+6x+25，|PB|=(2-x)2+(3-0)2=x2-4x+7 .由|PA|=|PB|，得x2+6x+25=x2-4x+7，解得x=-95，即点P的坐标为(-95,0)，|PA|=(-3+95)2+(4-0)2=21095 .探究点二中点坐标公
6、式及应用精讲精练例（1）点M(4,3)关于点N(5,-3)的对称点的坐标为.（2）已知平行四边形ABCD的三个顶点A(0,0)，B(2,0)，D(1,3)，求顶点C的坐标.答案：（1）(6,-9)解析：（1）设所求对称点的坐标为(x,y)，则x+42=5,y+32=-3,解得x=6,y=-9,故所求对称点的坐标为(6,-9).答案：（2）平行四边形的对角线互相平分，平行四边形对角线的中点坐标相同.设C点的坐标为(x,y)，则0+x2=2+12=32,0+y2=0+32=32,即C(3,3) .解题感悟中点坐标公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时，一般先根
7、据几何概念提炼出“中点关系”，然后用中点坐标公式列方程或方程组求解.迁移应用1.已知平行四边形ABCD的两个顶点A(4,2),B(5,7)，对角线交点为E(-3,4)，求顶点C，D的坐标.答案：设C点的坐标为(x1,y1)，则由E为AC的中点得解得-3=4+x12,4=2+y12,，解得x1=-10,y1=6.设D点的坐标为(x2,y2)，则由E为BD的中点得-3=5+x22,4=7+y22,解得x2=-11,y2=1.故C点的坐标为(-10,6)，D点的坐标为(-11,1).探究点三坐标法的应用精讲精练例（2020山东滨州高二期末）已知0x1,0y1，求证：并求使等号成立的条件.答案：如图所
8、示，设O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，P(x,y)，显然四边形OABC是正方形.由于0x1，0y1，所以点P是正方形内部任意一点，则|PO|=x2+y2，|PB|=(1-x)2+(1-y)2，|PA|=(1-x)2+y2，|PC|=x2+(1-y)2由平面几何知识可知|PO|+|PB|OB|，|PA|+|PC|AC|，因此|PO|+|PB|+|PA|+|PC|OB|+|AC|，又|OB|=|AC|=2，所以x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)222，当且仅当|PO|+|PB|=|OB|，|PA|+|PC|=|AC|时取等号，此时点
9、P既在OB上，又在AC上，即P为正方形OABC的中心，故x=y=12 .解题感悟（1）把不等式的左端利用两点间的距离公式转化为平面上两点间的距离是解题的关键，构造出正方形后利用平面几何的知识求解.（2）建立坐标系的原则是“避繁就简”.迁移应用1.如图，ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，证明：|AE|=|CD| .答案：如图所示，以B点为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设ABD和BCE的边长分别为a和c，则A(-a,0)，C(c,0)，E(c2,3c2),D(-a2,3a2)，由两点间的距离公式，得|AE|=(c2+a)2+(3c2-0)2=a2+ac+c2，|CD|=(-a2-c)2+(3a2-0)2=a2+ac+c2，|AE|=|CD| .评价检测素养提升见学用41页1.已知A(a,6)，B(-2,b)，C(2,3)，若点C平分线段AB，则a+b等于( )A.6B.1C.2D.-2答案：A2.已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|=5，则a的值为( )A.4B.-4或2C.-2D.-2或4答案：D3.已知ABC的顶点A(2,3)，B(-1,0)，C(2,0)，则ABC的周长是( )A.23 B.3+23 C.6+32 D.6+10答案：C4.已知A(1,1)，B(4,3)，点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值为 .答案：5
