1、1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系第1课时空间向量的坐标及运算课标解读课标要求素养要求1.理解空间向量坐标的概念.2.掌握空间向量的线性运算的坐标表示，掌握空间向量数量积的坐标表示.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.1.数学抽象能利用空间向量基本定理及空间向量的正交分解得到空间向量坐标的概念.2.数学运算能利用空间向量的坐标解决空间向量的模、夹角，以及向量的平行和垂直问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一空间向量的正交分解与坐标表示一般地，如果空间向量的基底e1,e2,e3中，e1,e2,e3都是 单位向量，而且这三个向量 两两垂
2、直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组 (x,y,z)为向量p的坐标，记作p=(x,y,z)，其中x,y,z都称为p的坐标分量.要点二空间向量的坐标运算1.向量的线性运算a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) . 类似地，可以得出，如果u，v是两个 实数，那么ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2,uz1+vz2) .2.向量的数量积ab=x1x2+y1y2+z1z2 .3.向量的模|a|=aa=x12+y12+z12 .4.向量的夹角当a0且b0时，由向量数量积的定义可知cosa,b=
3、ab|a|b|=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22 .要点三空间向量的平行与垂直的坐标表示当a0时，ab b=a(x2,y2,z2)=(x1,y1,z1)x2=x1,y2=y1,z2=z1.更进一步，当a的每一个坐标分量都不为零时，有abx2x1=y2y1=z2z1 .而且abab=0x1x2+y1y2+z1z2=0 .自主思考1.单位正交基底唯一吗？答案：提示不唯一，只要e1,e2,e3都是单位向量，并且两两垂直，就是单位正交基底.2.若e1,e2,e3是单位正交基底，向量a=2e1-e2+3e3，则a的坐标是什么？答案：提示 (2,-1,3).3.已知
4、向量a=(1,-1,0)，b=(0,2,3)，则-a+3b的坐标是什么？答案：提示(-1,7,9).4.已知a=(1,3,-2)，则|a|是什么？答案：提示14 .5.已知向量a=(0,2,1)，b=(-1,1,-2)，则a与b的夹角是多少？答案：提示2 .6.已知a=(2,-1,2)，b=(-4,2,x)，若ab，则x的值是什么？若ab呢？答案：提示ab时，x=-4；ab时，x=5 .名师点睛1.单位正交基底的特点（1）位置：三个向量两两垂直.（2）模长：每个向量的模都等于1.（3）记法：一般记作e1,e2,e3,i,j,k等.2.对空间向量坐标运算的两点说明（1）类比平面向量坐标运算：空间
5、向量的加法、减法、数乘和数量积运算与平面向量的类似，学习中可以类比推广，推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即a=(x,y) .而在空间中则表示为a=(x,y,z) .（2）运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数.互动探究关键能力探究点一空间向量的坐标运算自测自评1.已知向量a=(3,-2,1)，b=(-2,4,0)，则4a+2b等于( )A.(16,0,4)B.(8,-16,4)C.(8,16,4)D.(8,0,4)答案：D解析：4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,
6、-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4) .2.若向量a,b满足a+b=(-2,-1,2)，a-b=(4,-3,-2)，则ab等于( )A.5B.-5C.7D.-7答案：B解析：a+b=(-2,-1,2)，a-b=(4,-3,-2)，a=(1,-2,0)，b=(-3,1,2)，ab=1(-3)+(-2)1+02=-5 .3.已知a=(2,-1,-2)，b=(0,-1,4)，求a+b，2a(-b)，(a+b)(a-b) .答案：a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2,-2,2) .2a(-b)=2(2,-1,-2)(0,1,-4)=(4,-2,-4)(0,1,-4)=40+(-2
7、)1+(-4)(-4)=14 .a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2,0,-6)，(a+b)(a-b)=(2,-2,2)(2,0,-6)=22+(-2)0+2(-6)=-8 .解题感悟1.空间向量坐标运算的技巧（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则、数量积坐标公式解决.（2）对已知条件中的向量等式转化而得到所求的向量等式，先将其坐标化，然后利用坐标运算列方程或方程组求解有关未知数. 2.数量积坐标运算的技巧进行数量积运算时，要正确使用公式ab=x1x2+y1y2+z1z2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2=aa，(a+b)(a-b)=|a|2-|b
8、|2，(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2 .探究点二空间向量的模、夹角精讲精练类型1 空间向量的模例1（1）若向量a=(1,-1,2)，b=(2,1,-3)，则|2a+b|= ( )A.7 B.22C.3D.32（2）已知AB=(1-n,-2n+1,-n)，则|AB|的最小值为( )A.12 B.22C.2D.不存在答案：（1）D（2）B解析：（1）向量a=(1,-1,2)，b=(2,1,-3)，所以2a+b=(4,-1,1) .故|2a+b|=42+(-1)2+12=18=32 .（2）因为AB=(1-n,-2n+1,-n)，所以|AB|=(1-n)2+(-2n+1)2+(-n)2=6
9、n2-6n+2=6(n-12)2+12，当n=12时，|AB|有最小值，为22 .类型2 空间向量的夹角例2（1）已知a=(cos,1,sin),b=(sin,1,cos)，则向量a+b与向量a-b的夹角是( )A.4 B.3 C.2 D.不能确定（2）（2020江西赣州高二期末）已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,k,-32)，若向量a、b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是 .答案：（1）C（2）(-132,12)(12,+)解析：（1）由已知得a+b=(cos+sin,2,sin+cos)，a-b=(cos-sin,0,sin-cos)，则(a+b)(a-b)=cos2-sin2+0
10、+sin2-cos2=0，故两个向量的夹角为2，故选C.（2）由题意可知cosa,b=ab|a|b|=-132-k14134+k2-132且k12，即k(-132,12)(12,+) .解题感悟1.求向量的模的两种基本策略（1）字母表示下的运算：利用|a|2=a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.（2）坐标表示下的运算：若a=(x,y,z)，则aa=a2=|a|2=x2+y2+z2，于是有|a|=x2+y2+z2 .2.利用数量积求两向量的夹角的步骤迁移应用1.（2021河南洛阳高二期末）已知a=(1,0,0),b=(0,-1,1)，若a+b与b的夹角为120，则的值为( )A
11、.66 B.-66C.66 D.6答案：B解析：a+b=(1,-,)，b=(0,-1,1)，(a+b)b=2，|a+b|=22+1，|b|=2，cos120=(a+b)b|a+b|b|=222+12=-12，可得0，解得=-66 .2.（多选）已知向量a=(1,2,3)，b=(3,0,-1)，c=(-1,5,-3)，下列等式中正确的是( )A.(ab)c=bcB.(a+b)c=a(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|答案：B ; C ; D解析：A .左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边=(a+b)c=(4,2,2)(-1,5,-3)
12、=4(-1)+25+2(-3)=0，右边=a(b+c)=(1,2,3)(2,5,-4)=12+25+3(-4)=0，左边=右边，正确；C.a+b+c=(3,7,-1)，左边=32+72+(-1)2=59，右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59，左边=右边，正确；D .由C可得，左边=59，a-b-c=(-1,-3,7)，|a-b-c|=59，左边=右边，正确.故选BCD.探究点三空间向量的平行与垂直精讲精练例（1）（多选）已知向量a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),c=(2,4,5)，则( )A.ab B.acC.ab D.ac（2）已知a=
13、(+1,1,2),b=(6,2m-1,2) .若ab，分别求与m的值；若|a|=5，且a与c=(2,-2,-)垂直，求a .答案：（1）A ; D解析：（1）因为1-2=2-4=-24，所以ab；因为ac=2+8-10=0，所以ac .答案：（2）ab，+16=12m-1=22，解得=15,m=3 .|a|=(+1)2+12+(2)2=52+2+2=5，解得=-1或=35 .ac,ac=0，即(+1)2+1(-2)+2(-)=0，解得=1 .由得，=-1，故a=(0,1,-2) .变式在本例（2）中，若ab，求2m的最大值.答案：因为ab，所以ab=10+2m+5=0，即2m=-10-5，所以
14、2m=-102-558 .所以2m的最大值为58 .解题感悟1.向量平行与垂直的判断直接利用空间向量的坐标运算公式判定.2.向量平行与垂直的应用（1）适当引入参数（比如向量a,b平行，可设a=b），建立关于参数的方程.（2）选择坐标形式，以达到简化运算的目的.迁移应用1.已知向量a=(-1,2,1),b=(3,x,y)，且ab，那么|b|= ( )A.36 B.6C.9D.18答案：A解析：根据题意得-13=2x=1y，则x=-6,y=-3，则b=(3,-6,-3)，故|b|=9+36+9=36 .故选A.2.已知a=(sin,cos,tan)，b=(cos,sin,1tan)，且ab，则为(
15、 )A.-4 B.4C.2k-2(kZ) D.k-4(kZ)答案：D解析：因为ab，a=(sin,cos,tan)，b=(cos,sin,1tan)，所以sincos+cossin+1=0，即sin2=-1，所以2=-2+2k,kZ，即=-4+k,kZ .评价检测素养提升课堂检测1.（多选）与向量m=(0,1,-2)共线的向量坐标是( )A.(2,0,-4)B.(0,3,-6)C.(1,1,-2)D.(0,12,-1)答案：B ; D2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,1)，且ka+b与a垂直，则k= ( )A.13 B.12 C.-13 D.-12答案：B3.已知向量a=(0,2
16、,1)，b=(-1,1,-2)，则a与b的夹角为( )A.0B.4 C.2 D.答案：C素养演练数学运算空间向量的坐标运算中的最值问题1.已知a=(1,1,1),b=(0,y,1)(0y1)，则cosa,b的最大值为( )A.33 B.23C.32 D.63答案：D解析：a=(1,1,1),b=(0,y,1)(0y1)，ab=y+1，|a|=3,|b|=y2+1，cosa,b=ab|a|b|=y+13y2+1 .设t=y2+1，则t2-1=y2，y=t2-1(1t2)，f(t)=13t2-1+1t=13(1-1t2+1t) .设sin=1t，则22sin1，即42，g()=13(1-sin2+sin)=13(cos+sin)=23sin(+4)，当=4时，g()取得最大值，为23=63 .故选D.素养探究：本题把向量的夹角的余弦值问题最终转化为三角函数的最值问题，其中对于较复杂的函数要通过换元法转化为简单的常规函数再求解，体现了数学运算的核心素养.
