1、平面向量1向量的概念与向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量【向量的几何表示】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，字母表示，用小写字母、，表示有向向量的长度为模，表示为|、|，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量【向量的模】的大小，也就是的长度（或称模），记作|【零向量】长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方
2、向不确定【单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）【相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性2平行向量（共线）【知识点的知识】1、平行向量： 方向相同或相反的非零向量如果，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行2、共线向量： 如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量零向量与任一向量共线说明：（1）向量有两个要素：大小和方向（2）向量与向
3、量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量 共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量【定理】 假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有14220，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1y2x2y10，这也是两向量平行的充要条件【例题解析】例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则0.5解；向量与共线，存在常数k，使得k（）2k1k 解得，0.5 故答案为0.5根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含的等式，解出即可3向量的加法【知识点的知识】向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则
4、有二：（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即+特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得+，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质+；+（）；+；（+）+（+）4向量的三角形法则【知识点的知识】三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，
5、记作，即+特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点5向量加减混合运算【知识点的知识】1、向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即+特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得+，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（首尾相接，
6、结果为首尾）（3）向量的加法性质+；+（）；+；（+）+（+）2、向量的减法运算求两个向量差的运算叫向量的减法运算法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即+（）设，则即即特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点（减终指向被减终）6两向量的和或差的模的最值【知识点的知识】 向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量当两个向量相加时，有|+|+|，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有|+|，当且仅当与方向相反时取得到等号 另外还有|+|，当且仅当与方向相反时取得到等号；
7、|，当且仅当与方向相同时取得到等号【例题解析】例：定义*|sin，是向量和的夹角，|，|是两向量的模，若点A（3，2），B（2，3），O为坐标原点，则*（）解：A（3，2），B（2，3），32+230，sin1*13点评：这个题拿来当例题主要是这个题很新颖，很适合高考求变的胃口其实这个题求的就是他们的最大值，只是多了一个确认的步奏【考点点评】 向量和差的模的极值也是一个比较重要的知识点，大家要引起重视，特别是新大纲还增加了向量的知识点，体现了对向量这一块的重视，那么就更加要熟悉这一部分的考点7向量数乘和线性运算【知识点的知识】（1）实数与向量的积是一个向量，记作，它的大小为|，其方向与的正负有
8、关若|0，当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反当0时，与平行对于非零向量a、b，当0时，有 （2）向量数乘运算的法则1；（1）；（）（）（）；（+）+；（+）+一般地，+叫做，的一个线性组合（其中，、均为系数）如果+，则称可以用，线性表示8平面向量的基本定理【知识点的知识】1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数1、2，使2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一9平面
9、向量的坐标运算【知识点的知识】 平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d若（m，n），则+（x+m，y+n），则（xm，yn）；（xm，ny），（x，y）【典型例题分析】例：已知平面向量满足：，且，则向量的坐标为（4，2）或（4，2）解：根据题意，设（x，y），若，有0，则x+2y0，若，x2+y220，联立，可得，解可得或，则（4，2）或（4，2）；故答案为（4，2）或（4，2） 这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设（x，y），根据题意，由，可得x+2y0，由，可得x2+y220，联立两式，解
10、可得x、y的值，即可得的坐标这也是常用的一种方法【考点点评】 这是一个很重要的考点，也是一个比较容易的考点，大家在学习的时候关键是掌握公式的应用，常用的解法一般就是上面例题中的先设未知数，再求未知数10平面向量共线（平行）的坐标表示【知识点的知识】平面向量共线（平行）的坐标表示：设（x1，y1），（x2，y2），则（）x1y2x2y1011平面向量数量积的含义与物理意义【知识点的知识】1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作，那么射线OA，OB的夹角叫做向量与向量的夹角，其中02、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为，那么我们把|cos叫做与的数量
11、积，记做即：|cos规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0注意： 表示数量而不表示向量，符号由cos决定； 符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替；在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0（2）投影：在上的投影是一个数量|cos，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cos的积12平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单
12、位向量，与和夹角为，则：（1）|cos；（2）0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，|；当，方向相反时，|；特别地：|2或|（用于计算向量的模）（4）cos（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（）（）（）；（3）分配律：（）（）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为（）222+2（）（+）22（）（），从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“”“（m+n）tmt+nt”类
13、比得到“（）”；“t0，mtntmn”类比得到“”；“|mn|m|n|”类比得到“|”；“（mn）tm（nt）”类比得到“（）”；“”类比得到以上的式子中，类比得到的结论正确的是解：向量的数量积满足交换律，“mnnm”类比得到“”，即正确；向量的数量积满足分配律，“（m+n）tmt+nt”类比得到“（）”，即正确；向量的数量积不满足消元律，“t0，mtntmn”不能类比得到“”，即错误；|，“|mn|m|n|”不能类比得到“|”；即错误；向量的数量积不满足结合律，“（mn）tm（nt）”不能类比得到“（）”，即错误；向量的数量积不满足消元律，”不能类比得到，即错误故答案为：向量的数量积满足交换
14、律，由“mnnm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）tmt+nt”类比得到“（）”；向量的数量积不满足消元律，故“t0，mtntmn”不能类比得到“”；|，故“|mn|m|n|”不能类比得到“|”；向量的数量积不满足结合律，故“（mn）tm（nt）”不能类比得到“（）”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到【考点分析】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握13平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点的知识】1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作，那么射线OA
15、，OB的夹角叫做向量与向量的夹角，其中02、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为，那么我们把|cos叫做与的数量积，记做即：|cos规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0注意： 表示数量而不表示向量，符号由cos决定； 符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替；在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0（2）投影：在上的投影是一个数量|cos，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度|与
16、在的方向上的投影|cos的积14数量积表示两个向量的夹角【知识点的知识】 我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角，并且还有这样的公式：cos通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了【典型例题分析】例：复数z+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60解：cos60+isin60复数z+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60故答案为：60点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，1）的夹角【考点点评】 这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来
17、，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握15数量积判断两个平面向量的垂直关系【概念】 向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直假如（1，0，1），（2，0，2），那么与垂直，有12+1（2）0，即互相垂直的向量它们的乘积为0【例题解析】例：与向量，垂直的向量可能为（）A：（3，4）B：（4，3）C：（4，3）D：（4，3）解：对于A：，（3，4）5，A不成立；对于B：，（4，3），B不成立；对于C：，（4，3），C成立；对于D：，（4，3），D不成立；故选：C点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直【考点分析】 向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用
