1、2016年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合A=x|2x1，B=x|x0，则AB=（）A（，0）B（，1C2，0）D（1，+）2下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）Ay=x3By=lnxCy=sinxDy=2x3在ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A0B1C2D5执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A3B4C5D66已知ABC外接圆
2、的圆心为O，且，则与的夹角为（）A B C D7直线y=kx+3被圆（x2）2+（y3）2=4截得的弦长为，则k=（）ABC D8为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价其电价标准如表：用户类别分档电量（千瓦时/户月）电价标准（元/千瓦时）试行阶梯电价的用户一档1240（含）0.4883二档241400（含）0.5383三档400以上0.7883北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的用电量为（）A350千瓦时B300千瓦时C250千瓦时D200千瓦时二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9若（
3、a2i）i=bi，其中a，bR，i使虚数单位，则a2+b2=10为了调查野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天捕到这种动物120只，做好标记后放回，经过一星期后，又捕到这种动物100只，其中做过标记的有8只，按概率方法估算，该保护区内有只这种动物11则 f（f（1）等于12某几何体的正（主）视图和俯视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为13抛物线x2=4y的焦点F的坐标为，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为4，则线段AB的长度为14观察下面的数表该表中第6行最后一个数是；设2016是该表的m行第n个数，则m+n=三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字
4、说明，演算步骤或证明过程15已知函数f（x）=（）求的值和f（x）的最小正周期；（）求f（x）在0，上的取值范围16已知数列an的前n项和（）求an的通项公式；（）求a2+a5+a8+a3n1的值17随着2022年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营其中一班有3名男生和1名女生参加，二班有1名男生和2名女生参加活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出2名进行展示（）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，求选出的2名学生性别相同的概率；（）若要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，求选出的2名学生来自不同班
5、级且性别不同的概率18如图，等腰直角三角形ABE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，AEBE，AB=2，FC平面ABCD，且FC=1（）求证：AB平面BCF；（）求证：EF平面ABCD；（）求点C到平面BDF的距离19已知函数f（x）=x+（）求函数f（x）的单调区间；（）若直线y=kx与曲线y=f（x）没有公共点，求实数k的取值范围20已知椭圆C： +=1（ab0），点A（4，0），B（0，2）和点P（m，n）（m0）都在椭圆C上，BPAB，且直线BP与x轴交于点M（）求椭圆C的标准方程和离心率；（）求点P的坐标；（）若以M为圆心，r为半径的圆在椭圆C的内部，求r的取值范围2016年北京市房
6、山区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合A=x|2x1，B=x|x0，则AB=（）A（，0）B（，1C2，0）D（1，+）【考点】并集及其运算【分析】由A与B，求出两集合的并集即可【解答】解：集合A=x|2x1=2，1，B=x|x0=（，0），则AB=（，1，故选：B2下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）Ay=x3By=lnxCy=sinxDy=2x【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】根据奇函数、增函数的定义，奇函数图象的对称性，正弦函数的单调性，以及
7、指数函数和对数函数的图象便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：Ay=x3是奇函数，且在（0，+）上单调递增，该选项正确；B对数函数y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；C正弦函数y=sinx在（0，+）上没有单调性，该选项错误；D指数函数y=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误故选A3在ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案【解答】解：在ABC中，若A
8、=，则cosA=，是充分条件，在ABC中，若cosA=，则A=或A=，不是必要条件，故选：A4若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A0B1C2D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即A（，），此时z的最大值为z=+2=，故选：D5执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A3B4C5D6【考点】程序框图【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S2，若不
9、满足条件执行循环体，依此类推，一旦满足条件S2，退出循环体，输出n的值为5【解答】解：模拟执行程序，可得A=2，S=0，n=1不满足条件S2，执行循环体，S=1，n=2不满足条件S2，执行循环体，S=，n=3不满足条件S2，执行循环体，S=，n=4不满足条件S2，执行循环体，S=，n=5满足条件S2，退出循环，输出n的值为5故选：C6已知ABC外接圆的圆心为O，且，则与的夹角为（）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】可由得出点O为边BC的中点，从而得出边BC为ABC外接圆的直径，从而得出，这样即可得出与的夹角【解答】解：如图，；圆心O为BC边的中点；BC为外接圆的直径；即与的夹角
10、为故选：D7直线y=kx+3被圆（x2）2+（y3）2=4截得的弦长为，则k=（）ABC D【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆（x2）2+（y3）2=4的圆心，半径，圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离，由此利用直线y=kx+3被圆（x2）2+（y3）2=4截得的弦长为，由勾股定理能求出k【解答】解：圆（x2）2+（y3）2=4的圆心（2，3），半径r=2，圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=，直线y=kx+3被圆（x2）2+（y3）2=4截得的弦长为，由勾股定理得，即4=+3，解得k=故选：A8为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试
11、行阶梯电价其电价标准如表：用户类别分档电量（千瓦时/户月）电价标准（元/千瓦时）试行阶梯电价的用户一档1240（含）0.4883二档241400（含）0.5383三档400以上0.7883北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的用电量为（）A350千瓦时B300千瓦时C250千瓦时D200千瓦时【考点】函数的值【分析】设该户居民月用电量为x千瓦时，则241x400，由题意得2400.4883+（x240）0.5383=0.4983x，由此能求出结果【解答】解：北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），设该户居民月用电量为x千
12、瓦时，则241x400，由题意得2400.4883+（x240）0.5383=0.4983x，解得x250故选：C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9若（a2i）i=bi，其中a，bR，i使虚数单位，则a2+b2=5【考点】复数相等的充要条件【分析】由题意可得2+ai=bi，故有，由此求得 a2+b2 的值【解答】解：（a2i）i=bi，即 2+ai=bi，a2+b2=5，故答案为 510为了调查野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天捕到这种动物120只，做好标记后放回，经过一星期后，又捕到这种动物100只，其中做过标记的有8只，按概率方法估算，该保护区内有1500只这种动物【
13、考点】收集数据的方法【分析】设保护区有这种动物有x只，则由题意可得=，从而求得x的值【解答】解：设保护区有这种动物有x只，则由题意可得=，求得 x=1500，故答案为：150011则 f（f（1）等于2【考点】函数的值【分析】由已知利用分段函数的性质先求出f（1）的值，再求出 f（f（1）【解答】解：f（1）=3，f（f（1）=f（3）=1+log33=2故答案为：212某几何体的正（主）视图和俯视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为4【考点】简单空间图形的三视图【分析】按几何体的各种情况计算体积，找出最大值【解答】解：由主视图和俯视图可知几何体为柱体侧视图的长和高均为1当侧视图为正方形时几
14、何体体积最大，此时几何体为长方体，棱长分别为4，1，1几何体体积V=411=4故答案为：413抛物线x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），过F的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为4，则线段AB的长度为10【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），由|AB|=|AF|+|FB|yA+yB+p，再利用梯形的中位线定理即可得出【解答】解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），|AB|=|AF|+|FB|=yA+yB+p=2（4+1）=10故答案分别为：（0，1）；1014观察下面的数表该表中第6行最后一个数是126；设2016是该表的m行第n
15、个数，则m+n=507【考点】数列递推式【分析】表中第n行共有2n1个数字，此行数字构成以2n为首项，以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【解答】解：表中第n行共有2 n1个数字，此行数字构成以2n为首项，以2为公差的等差数列故第7行的第一个数字为27=128，故第6行最后一个数是126，排完第k行，共用去1+2+4+2k=2 k+11个数字，2016是该表的第1008个数字，由210110082111，所以2016应排在第10行，此时前9行用去了2 91=511个数字，由1008511=497可知排在第10行的第497个位置，即m+n=507，故答案为：126，507三
16、、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数f（x）=（）求的值和f（x）的最小正周期；（）求f（x）在0，上的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）由诱导公式与辅助角公式化简解析式，由此得到的值和f（x）的最小正周期；（）由x的范围得到2x+的范围，由此得到f（x）的范围【解答】解：（）f（x）=sinx+cos2x+1=2sin（2x+）+1，=2，f（x）的最小正周期是T=（）当x0，时，2x+，2+，2sin（2x+）2，2，f（x）1，316已知数列an的前n项和（）求an的通项公式；（）求a2+a5+a8+a3n1的值【
17、考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）通过与Sn1=（n1）2+26（n1）（n2）作差、整理可知an=2n+27，进而计算可得结论；（）通过（I）可知a3n1是首项为23、公差为6的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论【解答】解：（）依题意，Sn1=（n1）2+26（n1）（n2），两式相减得：an=2n+27（n2），又a1=1+26=25满足上式，an=2n+27；（）由（I）可知a3n1是首项为23、公差为6的等差数列，a2+a5+a8+a3n1=23n+（6）=3n2+26n17随着2022年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式为普及冰雪
18、运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营其中一班有3名男生和1名女生参加，二班有1名男生和2名女生参加活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出2名进行展示（）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，求选出的2名学生性别相同的概率；（）若要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，求选出的2名学生来自不同班级且性别不同的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，先求出基本事件总数，由此能求出选出的2名学生性别相同的概率（）要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，先求出基本事件总数，再求出选出的2名学生来自不同班级且性别不同包含的基本事
19、件个数，由此能求出选出的2名学生来自不同班级且性别不同的概率【解答】解：（）要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，基本事件总数n=12，选出的2名学生性别相同的概率：P=（）要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，基本事件总数n=21，选出的2名学生来自不同班级且性别不同包含的基本事件个数m=7，选出的2名学生来自不同班级且性别不同的概率=18如图，等腰直角三角形ABE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，AEBE，AB=2，FC平面ABCD，且FC=1（）求证：AB平面BCF；（）求证：EF平面ABCD；（）求点C到平面BDF的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线
20、与平面垂直的判定【分析】（）根据线面垂直的判定定理即可证明AB平面BCF；（）根据线面平行的判定定理证明EFGC，即可证明EF平面ABCD；（）根据点到平面的距离进行求解即可求点C到平面BDF的距离【解答】证明：（）FC平面ABCD，AB平面ABCD，FCAB，ABCD是正方形，ABBC，BCCF=C，AB平面BCF；（）取AB的中点G，连接EG，GC，等腰直角三角形ABE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，EGAE，EG平面ABCD，FC平面ABCD，EGFC，AB=2，FC=1，EG=AB=1，即EG=FC，则四边形CGEF是矩形，EFGC，EF平面ABCD，GC平面ABCD，EF平面AB
21、CD；解：（）连接AC交BD于O，则BD平面COF，连接OF，过C作CHOF与H，则CH平面COF，即CH是点C到平面BDF的距离AB=2，AC=2，OC=，则OF=，则由三角形OCF的面积S=OCCF=OFCH，得CH=即点C到平面BDF的距离是19已知函数f（x）=x+（）求函数f（x）的单调区间；（）若直线y=kx与曲线y=f（x）没有公共点，求实数k的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）问题等价于关于x的方程kx=x+在R上没有实数解，即关于x的方程：（k1）x=（*）在R上
22、没有实数解【解答】解：（）f（x）=x+f（x）=1=，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增；（）直线y=kx与曲线y=f（x）没有公共点，等价于关于x的方程kx=x+在R上没有实数解，即关于x的方程：（k1）x=（*）在R上没有实数解；当k=1时，方程（*）可化为=0，在R上没有实数解；当k1时，方程（*）化为=xex，令g（x）=xex，则有g（x）=（1+x）ex，令g（x）=0，得x=1，当x=1时，g（x）min=，同时当x趋于+时，g（x）趋于+，从而g（x）的取值范围为，+），所以当（，）时，方程（*）无实数解，解得k的取值
23、范围是（1e，1），综上，解得k的取值范围是（1e，120已知椭圆C： +=1（ab0），点A（4，0），B（0，2）和点P（m，n）（m0）都在椭圆C上，BPAB，且直线BP与x轴交于点M（）求椭圆C的标准方程和离心率；（）求点P的坐标；（）若以M为圆心，r为半径的圆在椭圆C的内部，求r的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由A、B在椭圆C上，易得a=4，b=2，可得椭圆C的标准方程为+=1，可得离心率；（）由点在椭圆可得+=1，再由BPAB可得=1，解方程组可得点P的坐标；（）由直线的知识可得M（1，0），设椭圆C： +=1上任意一点为N（4cos，2sin），由三角函数和二次函数可
24、得MN|2的最小值，由圆在椭圆内部结合图象可得r的范围【解答】解：（）椭圆C： +=1（ab0），点A（4，0），B（0，2）和点P（m，n）都在椭圆C上，=1， =1，解得a=4，b=2，椭圆C的标准方程为+=1，椭圆C的离心率e=；（）由（）可得+=1，再由BPAB可得=1，联立解得m=，n=，故点P的坐标（，）；（）由A（4，0），B（0，2）可得AB的斜率为，由垂直关系可得BP斜率k=2，故直线BP的方程为y2=2（x0），即y=22x，令y=0可得x=1，故M（1，0），设椭圆C： +=1上任意一点为N（4cos，2sin），则|MN|2=（4cos1）2+（2sin0）2=16cos28cos+1+4sin2=12cos28cos+5，当cos=时，|MN|2取最小值，|MN|取最小值=，以M为圆心，r为半径的圆在椭圆C的内部，r的取值范围为：（0，）2016年7月15日
