1、本章整合知识网络专题探究专题一向量的基本运算及几何意义向量的运算有：加法、减法、数乘及两个向量的数量积，进行向量的运算常见的方法有两种：定义法和坐标法(1)在定义运算中，要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则，结合平面向量的基本定理求解(2)如果条件是坐标的向量，则直接进行运算如果向量在含有垂直关系的几何图形中给出，则可以建系利用坐标进行向量的运算，从而转化为实数的运算求解【例1】 如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为BC的中点，则()A3 B0C1 D1解析：方法一：，所以|cos 120|cos 6022221.方法二：ABCD为菱形，ACB
2、D.以AC，BD所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，则由菱形ABCD的边长为2，BAD60，得A(，0)，B(0，1)，C(，0)，D(0,1)，中点E，则，(0,2)，021.答案：C专题二向量的模向量的模，即向量的大小，也就是用来表示向量的有向线段的长度向量的模不仅是研究向量的一个重要的量，而且是利用向量方法解决几何问题的一个“交汇”点因此，我们必须熟练掌握求向量的模的基本方法一般地，求向量的模主要是利用公式|a|2a2将它转化为向量的数量积问题，利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决或利用公式|a|将它转化为实数问题，使问题得以解决【例2】 若a，b，c均为
3、单位向量，且ab0，则|abc|的最小值为()A. 1 B1C. 1 D. 解析：|abc|2a2b2c22ab2ac2bc32(ab)c，因为ab0，且|a|b|c|1，所以|ab|，所以(ab)c|ab|c|cosab，ccosab，c所以|abc|232cosab，c所以当cosab，c1时，|abc|2最小为|abc|232(1)2，即|abc|的最小值为1.选A.答案：A【例3】 设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值解法一：|3a2b|3，9a212ab4b29.又|a|b|1，ab.故|3ab|2.解法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy1.3
4、a2b(3x12x2,3y12y2)，|3a2b|3.x1x2y1y2.|3ab|2.专题三向量的夹角求向量a，b夹角的步骤：求|a|，|b|，ab；求cos (夹角公式)；结合的范围0，求出.因此求向量的夹角应先求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小【例4】 若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D. 解析：由|ab|ab|，得a22abb2a22abb2，即ab0.由|ab|2|a|，得a22abb24a2，即b23a2，所以|b|a|.所以(ab)aa2ab|a|2.所以向量ab与a的夹角的余弦值为cos ，所以，选B.答
5、案：B【例5】 已知在直角梯形ABCD中，ABDC，ADAB，AB4，ADCD2，E，F分别为BC，CD的中点，则EAF_.解析：如图建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(3,1)，F(1,2)，则(3,1)，(1,2)，cosEAF.0EAF，EAF.答案：专题四向量的共线与垂直及应用已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，ababx1y2x2y10(R)；abab0x1x2y1y20.因此证明ab，只需要证明ab或x1y2x2y10(R)；已知ab，则必有ab，x1y2x2y10(R)证明ab，只需证明ab0或x1x2y1y20；已知ab
6、，则必有ab0，x1x2y1y20.【例6】 如图，(6,1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x与y之间的关系式；(2)若在(1)的条件下，又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积解：(1)(6,1)(x，y)(2，3)(x4，y2)，(x4,2y)又，(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2) (6,1)(x，y)(x6，y1)，(x，y)(2，3)(x2，y3)，0.即(x6)(x2)(y1)(y3)0.又x2y0，(62y)(2y2)(y1)(y3)0，化简得y22y30.y3或y1.当y3时，x6.(6,3)，(0,4)，(8,0)|4，|8.S四边形ABCD|16.当y1时，x2.(2，1)，(8,0)，(0，4)|8，|4.S四边形ABCD|16.综上，或S四边形ABCD16.
