1、2.5.2 向量在物理中的应用举例5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.用力F推动一物体G，使其沿水平方向运动s，F与垂直方向的夹角为，则F对物体G所做的功为( )A.Fscos B.Fssin C.|F|s|cos D.|F|s|sin解析：根据力对物体做功的定义，W=|F|s|cos(90-)=|F|s|sin.答案：D2.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则( )A.|v1|v2| B.|v1|v2| C .|v1|v2| D.|v1|v2|解析：只有当船速大于水速时，船速在水速方向的分速度能够和水速抵消，船才能垂直到达对岸.答案：B3.已知三个力
2、F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(x，y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0，得(3，4)+(2，-5)+(x，y)=(0，0)，即F3=(-5，1).10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳臂受伤,试用向量知识加以解释.解：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1，F2，且F1=F2,两胳膊的夹角为，胳膊受力分析如图(不计其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F1|=，0，当=0时,|F1|=；当=时,|F1|=|G|；又(0,)时,|F1|单调递增,故当(0,)时,F1(,|
3、G|),当(,)时,|F1|G|.此时，欲悬空拎起小孩则容易造成小孩受伤.2.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向.解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.设=-a，=-2a.，=v-a.这就是感到由正北方向吹来的风速.，=v-2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知PBO=45，PABO，BA=AO，可知POB为等腰直角三角形，PO=PB=，即|v|=.实际风速是的西北风.3.已知两恒力F1
4、=(3，4)，F2=(6，-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.解析：设物体在力F作用下位移为s,则所做的功为W=Fs.=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1=(3,4)(-13,-15)=-99(焦耳).W2=F2=(6,-5)(-13,-15)=-3(焦耳).(2)W=F=(F1+F2)(3,4)+(6,-5)(-13,-15)=(9,-1)(-13,-15)=-102(焦耳).4.在静水中划船的速度是每分钟40米,水流的速度是每分钟20米.如果从岸边
5、O点出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,试问小船的行进方向应指向哪里?解析：用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向,用表示船行进的方向,它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB,连结OC.依题意OCOA,BC=OA=20,OB=40,BOC=30,即船应沿上游与河岸夹角为30的方向行进.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1，2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|.另一点Q从Q0(-2，1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e
6、1+2e2|.设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处，则当PQP0Q0时，t=_.解析：P0(-1,2),Q 0(-2,1),=(-1,-3).又e1+e2=(1,1),|e1+e2|=.3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=.当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).=(-1+2t,-3+t).PQP0Q0,(-1)(-1+2t)+(-3)(-3+t)=0.t=2.答案：22.如图2-5-6所示,已知两个力F1、F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10 N.求F1和F2的大小.图2-5-6解：|F1|=|F|c
7、os60=10=5 N，|F2|=|F|sin60=10= N.F1的大小为5 N，F2的大小为 N.3.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船实际航行的速度的大小为4 km/h，方向与水流间的夹角是60，求v1和v2.解：|v1|=|v|sin60=4=(km/h)，|v2|=|v|cos60=4=2(km/h).v1的大小为 km/h，v2的大小为2 km/h.4.飞机从A地向北偏西60的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60，并且A、C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移.解：如图所示，设A在东西
8、基线和南北基线的交点处.依题意，的方向是北偏西60，|=1 000 km；的方向是南偏西60，|=2 000 km，所以BAC=60.过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则ABD为正三角形.所以BD=CD=1 000 km，CBD=BCD=BDA=30.所以ABC=90.BC=ACsin60=2 000=(km)，|=(km).所以飞机从B地到C地的位移大小是 km，方向是南偏西30.5.已知力F与水平方向的夹角为30(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)解：
9、如图所示，设木块的位移为s，则Fs=|F|s|cos30=5020=(J).将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30=50=25(N)，所以，摩擦力f的大小为|f|=|(G-F1)|=(80-25)0.02=1.1(N).因此fs=|f|s|cos180=1.120(-1)=-22(J).即F和f所做的功分别是 J和-22 J.6.如图2-5-7所示,有两条相交成60的直线xx1、yy1,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3 km的A处,乙位于离O 1 km的B处.后来两个人同时用每小时4 km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.(
10、1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?(ABC的三边长为a，b，c，则有如下结论：b2=a2+c2-2accosB)图2-5-7解：(1)起初两人分别在A、B两点,则|=3,|=1.|=|2+|2-2|cos60=9+1-231=7.|= km,即起初两人相距 km.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则|=4t,|=4t,又甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动，当0t时，|2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7；当t时,|2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120=48t2-24t+7(t0).综上,|2=48t2-24t+7=48(t)2+4,t0,+).当t=,即在第15分钟末时,PQ最短,两人最近,最近距离为2 km.
