1、内蒙古自治区2021届高三数学上学期12月联考试题（含解析）第卷一、选择题：本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式可得，再由交集的概念即可得解.【详解】由题意，所以故选：D.2. 已知复数满足(，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件可得，根据复数的除法运算可得答案.【详解】因为.所以.故选：B3. 的展开式中的系数是（ ）A. 90B. 80C. 70D. 60【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理，得到展开式的第项，再由赋值法，即可求出结果
2、.【详解】因为展开式的第项为，令，得，则的系数为故选：A.4. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性排除A、C，再通过特殊点排除D.【详解】因为，所以是偶函数，所以的图象关于y轴对称，排除A，C；因为，排除D.故选：B.5. 已知向量，若，则（ ）A. B. 12C. 8D. 【答案】A【解析】【分析】根据，求得n，再利用坐标运算求得的坐标，然后利用向量的求模公式求解.【详解】因为向量，且，所以，解得，所以，所以故选：A6. 点为抛物线的准线上一点，直线交抛物线于M，N两点，若的面积为20，则（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】C
3、【解析】【分析】求得两点的坐标，根据的面积列方程，解方程求得的值.【详解】由题意不妨设，则的面积为，解得.故选：C7. 已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导，根据直线与直线平行，令，求得切点坐标，然后写出切点方程.【详解】因为，所以，因为直线与直线平行，令，解得或（舍去），所以切点的坐标为，故直线的方程为，即故选：B.8. 朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家.朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平均律是将八度的音程
4、按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是，如果12音阶中第一个音的频率是，那么第二个音的频率就是，第三个单的频率就是，第四个音的频率是，第十二个音的频率是，第十三个音的频率是，就是.在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分析题意，利用等比数列的求和公式即可计算得解.【详解】由题意知，第二个音到第十三个音的频率分别为，显然以上12个数构成了以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列求和公式得： .故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和公式，解题的关键是分析题意将第二个音到第十三个音的频率构成以为首项，
5、以为公比的等比数列，再根据等比数列求和公式可得，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.9. 函数（，），其图象相邻两条对称轴间的距离为，将其图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则下列点是图象的对称中心的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题可得，继而求得，求得平移之后的解析式，根据关于轴对称求得，令，可得出对称中心.【详解】因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以，所以.因为的图象向右平移个单位长度后得到曲线，又其图象关于轴对称，所以，即，.因为，所以，故，令，得，.当时，所以点是图象的一个对称中心.故选：B.10. 某流行病调查中心的疾控人员
6、针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型：.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（ ）A. 44B. 48C. 80D. 125【答案】D【解析】【分析】根据求得，由此求得的值.【详解】依题意得，所以.故若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为125.故选：D11. 如图，已知正方体
7、的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作交于点，可得出点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，即可求出.【详解】如图，作交于点，则可得平面，平面，则，因为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，所以的最小值为故选：A.【点睛】关键点睛：判断出点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧是解题的关键.12. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中的条件求出，根据三角形两边之和大于第三
8、边得到，再根据，得到，即可求出离心率的取值范围.【详解】解：如图所示：，是双曲线的左右焦点，延长交于点，是的角平分线，又点在双曲线上，又是的中点，是的中点，是的中位线，即，在中，由三角形两边之和大于第三边得：，两边平方得：，即，两边同除以并化简得：，解得：，又，在中，由余弦定理可知，在中，即，又，解得：，又，,即， ，综上所述：.故选：B.【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关， ，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)第卷二
9、、填空题：本大题共4小题，把答案填在答题卡上.13. 已知函数，则_.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数每一段的定义域求解.【详解】因为函数，所以.故答案为：114. 在等差数列中，则数列的公差为_.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为d.，根据等差数列下标和性质得到，再根据计算可得；【详解】解：设数列的公差为d.因为，所以，则.故答案为：15. 将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_.【答案】【解析】【分析】先求出等腰直角三角形的直角边长，进而求出旋转体圆锥的底面半径和母线，再利用圆锥的表面积公式即可求出结果.【详解】因为等腰直角三
10、角形的斜边长为4，所以直角边长为，由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径，母线长，则其表面积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关圆锥的表面积的问题，正确解题的关键点是：（1）要确定旋转后所得到的几何体是圆锥；（2）要明确圆锥的各个量：底面圆的半径以及母线长；（3）要熟练掌握圆锥的表面积公式.16. “养国子以道，乃教之六艺”出自周礼保氏，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是中国周朝时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力、经济等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养，已知某商贾觉得“君子不学礼无以立”，而其两个
11、孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己的能力，只能为每个孩童择四艺进行培养.若令商贾和两个孩童都满意，其余二艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据商贾和两个孩童都满意，得到“礼”“数”为必选，然后利用古典概型，先求得两个孩童都不选“御”的概率，再利用对立事件概率求解.【详解】由题意得，“礼”“数”为必选，所以两个孩童都不选“御”的概率为，故两个孩童至少有一个选到“御”的概率为.故答案为：三、解答题：本大题共6小题.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一
12、）必考题：17. 在中，角所对的边分别为.已知.（1）若，求的值（2）若的面积为，求周长的最小值.【答案】（1）；（2）12【解析】【分析】（1）由余弦定理得，再根据正弦定理得；（2）由题知，进而由余弦定理得，再结合基本不等式得，由于，进而得，故，当且仅当是等号成立，进而得周长的最小值.【详解】解：（1）由余弦定理可得，则.由正弦定理可得，则.（2）因为的面积为，所以，则.由余弦定理可得，则（当且仅当时，等号成立），即.因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立），故，即周长的最小值为12.【点睛】本题第二问解题的关键在于根据余弦定理，结合基本不等式得，当且仅当时，等号成立，进而求得答案.18.
13、为了解生猪市场与当地居民人均收人水平的关系农业农村部对160城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了随机调研得到如下表格：猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)615022759451601619（1）估计全国各地猪肉价格在(元/千克)内的概率；（2）估计这160个城镇的居民人均收人(元/月)的中位数(计算结果保留整数)；（3）根据所给数据完成下面的列联表并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.附：，其中.0.050.0100.005k3.8416.6357.879猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)合计合计【答案】（1）；（2
14、）中位数约为4357；（3）列联表见解析，有的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【解析】【分析】（1）根据频率的定义即可求出样本的频率，即可估计全国各地猪肉价格在（50，60（元/千克）内的概率；（2）根据中位数的定义即可求出；（3）根据题目所给的数据填写22列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论【详解】（1）因为这160个城镇的猪肉价格在(元/千克)内的频率为，所以据此得全国各地猪肉价格在(元/千克)内的概率约为；（2）因为居民人均收入(元/月)在的频率为，居民人均收入(元/月)在内的频率为，所以居民人均收入(元/月)的中位数在之间，因为.所以中位数约为4
15、357；（3）列联表如下：猪肉价格(元/千克)人均收人(元/月)合计505557035105合计12040160因为，所以有的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【点睛】方法点睛：在频率分布中中位数的求法是：中位数的两边频率和都为0.5.19. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1平面AA1C1C，D是AA1的中点，是边长为1的等边三角形.（1）求证：CDB1D；（2）若BC=，求二面角BC1DB1的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据计算，利用勾股定理逆定理得;根据B1C1平面AA1C1C，得,最后根据线面垂直判断定理以及性质定理证明结果；（
16、2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小.【详解】（1）因为是边长为1的等边三角形，所以因为B1C1平面AA1C1C，平面AA1C1C，所以因为为平面B1C1D内两相交直线，所以平面B1C1D因为平面B1C1D,所以CDB1D；（2）以D为坐标原点，过平行直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则设平面BC1D的一个法向量为，平面C1DB1的一个法向量为由得令由得令因为二面角BC1DB1为锐二面角，所以二面角BC1DB1为【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.20. 已知函数（1）求的最值；（2）若对恒成立，求的取值范围.
17、【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）.【解析】【分析】（1）求导，因为得定义为R，分别令，求得极值即为最值.（2）转化为在上恒成立，令，用导数求得其最小值即可.【详解】（1），令，得；令，得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，无最大值.（2）由题知，在上恒成立，令，则，因为，所以.设，易知在上单调递增.因为，所以存在，使得，即.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以，从而，故的取值范围为.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，；若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；21. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭
18、圆上，且当直线垂直于轴时，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，求解出的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件可得，当直线的斜率不存在时，直接计算即可；当直线的斜率存在时，设，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理形式表示出，由此确定出是否存在满足条件.【详解】解：（1）由题意可得，解得.故椭圆C的标准方程为.（2）由（1）可知.当直线l的斜率不存在时，则.当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为.联立，整理得，则，从而故由题意可得.则.因，所以.综上，存
19、在实数，使得恒成立.【点睛】易错点睛：利用直线与圆锥曲线联立求解相关问题的易错点：（1）假设直线方程的时候，要注意分析直线的斜率是否存在；（2）利用公式或不仅可以求解弦长，同时还可以求解两点之间距离.（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答.选修4-4：坐标系与参数方程22. 数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线：（，）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）射线，的极坐标方程分别为，（，），分别交曲线于点，两点，求的最小值【答案】（1），；（2）4.【解析】【分析】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立，解得，求得的值，进而求得
20、单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）代入极坐标方程，求得点所对应的极径分别为，得到，即可求得的最小值.【详解】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立，解得，所以，因为，取0，1，2，得，从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为，（2）将，代入：，点，所对应的极径分别为，所以，即，当且仅当时，取得最小值4选修4-5：不等式选讲23. 已知函数（1）证明；（2）已知，若不等式的解集为，且，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由，利用绝对值的几何意义知即可证明；（2）将原函数不等式转化为，令，即解集为，结合分段函数的性质有且，讨论边界值与5的大小关系，从而确定m的所在区间，结合即可求值【详解】（1）证明：由绝对值三角不等式知：，即得证.（2）解：，则，令，则，而左侧有：当时，有，所以，得，即，得当时，有，所以，得，即，故此时无解综上，【点睛】关键点点睛：（1）将被证不等式转化为，利用即可证不等式；（2）令，则原不等式等价于且为解集，根据分段函数的性质有，讨论与5的大小确定m的所在区间，求参数值.
