1、直线和平面 (时间:90分, 满分:100分) 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.直线a、b与异面直线c、d都相交，则a、b、c、d四条直线可以确定 A.2个平面 B.3个平面 C.4个平面 D.3个或4个平面 2.若平面上有不共线的三个点到平面的距离都相等,则平面与的位置关系是 A.平行 B.相交 C.垂直 D.以上三种情况都有可能 3.a、b、c是空间的三条直线,下面给出四个命题: (1)如果ab,bc,则ac;(2)如果a、b相交,b、c相交,则a、c也相交;(3)如果a、b共面,b、c共面,则a、c也共面;(4)如果a、b是异面直线,b、c是异面直线,则a、c也是异面直线.上述命
2、题中,正确命题的个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.设a、b、c是互不重合的三条直线，、是互不重合的三个平面,有四个命题:(1)ac,bcab (2)a,a (3)a,bab (4), 其中正确的是 A.(1)和(2) B.(1)和(4) C.(1)和(3) D.(2)和(4) 5.已知平面外的直线b垂直于平面内的两条直线,那么下列判断中正确的是 A.b一定不垂直于平面 B.b一定不平行于平面C.b可能垂直于平面D.b一定垂直于平面 6.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角的大小关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无法确定 7.已知异面
3、直线a、b的公垂线段AB的长为3,所成的角为60,在a上取AC=1,在b上取BD=2,则CD的长为 8.把边长为a的正三角形ABC,沿高线AD折成60的二面角,这时顶点A到BC边的距离是 9.设二面角的大小为,点P,PA、PB分别在半平面、内且与棱成相等的角(不与棱重合),则APB的取值范围是 10.过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,且PA=AB,那么平面PAB与平面PCD所成的二面角的平面角等于 A.30 B.45 C.60 D.90 二、填空题(每小题5分,共20分) 1.a、b是平面内相距6cm的两条直线,与是距离为4cm的两个平行平面.已知直线c,ca,且c与a相距5cm
4、,那么c与b的距离是 . 2.已知CAB=90 ,在平面内,P点在平面外,且PAB=PAC=60.若PA=2,则P点到平面的距离为 . Q.若点P到AB的距离等于2,那么PQ与平面所成的角等于 . 4.长方体ABCDABCD中,AB=BC=3,AA=4,则异面直线BD和BC所成的角的余弦值是 . 三、解答题(每小题10分,共30分) 1.已知:直线a直线b,a、b均不在平面内,且a不垂直于平面.求证:a和b在平面上的射影是一条直线或是两条平行直线. 2.正方形ABCD与正方形ABEF有一公共边AB,且两平面互相垂直,P是BF上的动点.设P到AC的距离为d,AB=a,问:当BP为何值时d的值最小
5、?并求出这个最小值. 3.已知ABC中B=30,PA平面ABC,PCBC,PB与平面ABC所成的角为45. (1)求证:平面PBC平面PAC; (2)求二面角APBC的正切值. 参考答案 一. 1.D 2.D 3.A 4.B 5.C6.D 7.B 8.D 9.A 10.B 3.45 三.1.已知：直线a直线b，a、b均不在平面内，且a不垂直于平面.求证：a和b在平面上的射影是一条直线或是两条平行直线.证明: ab,a、b确定一个平面,设为,根据题意,与必不重合.(1)当时,设=m.若b, 已知ab,a,这与已知a不垂直平面矛盾,b不垂直于平面.a、b都在平面内且都不垂直,a、b在上的射影是一条
6、直线m. （2）当与不垂直时，在a上取一点P,作PP1于P1,在b上取一点Q,作QQ1于Q1,则PP1QQ1aPP1=P,bQQ1=Q,可设b与QQ1所确定的平面为2,2=b,1,2,a在平面上的射影是a,b在平面上的射影是b.又ab, PP1QQ1,12.ab,即a、b在平面上的射影是两条平行直线.综上所述,此题得证. 2.解:过P点作PGAB于G,过G点作GHAC于H,连结PH.平面AE平面BD PG平面BD, PHAC,PH是P点到AC的距离. 设BP=x,在正方形ABEF和正方形ABCD中, 3.(1) 证明:PA平面ABCPABC， 又已知PCBC,PAPC=P,BC平面PAC.BC
7、平面PBC平面PBC平面PAC (2)解:PA平面ABC,PA平面PAB,平面PAB平面ABC.过C点作CDAB于D,CEPB于E,连结DE.则CD平面PAB,DEPB,CED是二面角APBC的平面角.由(1)知,BCAC. 在RtABC中,ABC=30,若设AC=1,在RtBDE中,DBE=45,参考答案 一. 1.D 2.D 3.A 4.B 5.C6.D 7.B 8.D 9.A 10.B 3.45 三.1.已知：直线a直线b，a、b均不在平面内，且a不垂直于平面.求证：a和b在平面上的射影是一条直线或是两条平行直线.证明: ab,a、b确定一个平面,设为,根据题意,与必不重合.(1)当时,
8、设=m.若b, 已知ab,a,这与已知a不垂直平面矛盾,b不垂直于平面.a、b都在平面内且都不垂直,a、b在上的射影是一条直线m. （2）当与不垂直时，在a上取一点P,作PP1于P1,在b上取一点Q,作QQ1于Q1,则PP1QQ1aPP1=P,bQQ1=Q,可设b与QQ1所确定的平面为2,2=b,1,2,a在平面上的射影是a,b在平面上的射影是b.又ab, PP1QQ1,12.ab,即a、b在平面上的射影是两条平行直线.综上所述,此题得证. 2.解:过P点作PGAB于G,过G点作GHAC于H,连结PH.平面AE平面BD PG平面BD, PHAC,PH是P点到AC的距离. 设BP=x,在正方形ABEF和正方形ABCD中, 3.(1) 证明:PA平面ABCPABC， 又已知PCBC,PAPC=P,BC平面PAC.BC平面PBC平面PBC平面PAC (2)解:PA平面ABC,PA平面PAB,平面PAB平面ABC.过C点作CDAB于D,CEPB于E,连结DE.则CD平面PAB,DEPB,CED是二面角APBC的平面角.由(1)知,BCAC. 在RtABC中,ABC=30,若设AC=1,在RtBDE中,DBE=45,
