1、第二章解三角形1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理第1课时正弦定理基础过关练题组一对正弦定理的理解1.(2020辽宁六校高一下联考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是() A.ab=ABB.ab=sin Asin BC.ab=sin Bsin AD.asin A=bsin B2.在ABC中,ABC=411,则abc=()A.411B.211C.211D.3113.在ABC中,若asinA=bcosB,则角B的大小为()A.6B.4C.3D.24.(2019江西师大附中高一下月考)已知ABC中,BC=63,三角形的外接圆的半径为6,则sin(B+C)=.题组二已知两
2、角及一边解三角形5.在ABC中,AB=3,A=45,C=75,则BC=()A.3+3B.3-3C.2D.26.在ABC中,已知A=105,B=45,b=22,则c=()A.2B.22C.3+3D.67.在ABC中,已知a+b=3,B=4,A=3,则b的值为.8.在ABC中,B=4,AC=25,cos C=255.(1)求sin A;(2)求BC.9.在ABC中,已知a=22,A=30,B=45,解三角形.题组三已知两边及一边的对角解三角形10.在ABC中,a=2,b=3,B=60,那么A等于()A.45B.45或135C.60D.60或12011.在ABC中,已知b=63,c=6,C=30,则
3、a=()A.6B.12C.6或12D.无解12.在ABC中,b=10,c=56,C=60,则ABC有()A.一解B.两解C.无解D.不确定13.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=15,b=10,A=60,则sin B=.14.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=2,B=4,则a=.题组四利用正弦定理判断三角形的形状15.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acos B-bcos A=c,则ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定16.在ABC中,若cbcos A,则ABC为()A.锐角三角形B.直角三角
4、形C.钝角三角形D.不确定17.在ABC中,lg(sin A+sin C)=2lg(sin B)-lg(sin C-sin A),则此三角形的形状是.18.在ABC中,已知b=asin C,c=asin B,试判断ABC的形状.能力提升练一、选择题1.()在ABC中,若a=4,b=3,cos A=13,则B=() A.4B.3C.6D.232.()在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45,cos A=35,则b等于()A.53B.107C.57D.52143.()在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b3cosB=asinA,则cos B=() A.-
5、12B.12C.-32D.324.()在ABC中,若b2=ac,A=30,则bsinBc=()A.12B.22C.32D.345.()在ABC中,若asin Asin B+bcos2A=23a,则ba=()A.23B.22C.3D.26.()在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(3,-1),n=(cos A,sin A),若mn,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为()A.6,3B.23,6C.3,6D.3,37.(2019陕西西安一中高二月考,)在ABC中,B=120,AB=2,A的平分线AD=3,则AC=()A.23B.6C.5D.108.
6、()在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,B=2A,则b的取值范围是()A.(0,6)B.(0,3) C.(2,3)D.(3,2)9.()在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csin A=3acos C,则sin A+sin B的最大值是()A.1B.2C.3D.3二、填空题10.()若ABC的周长等于2(sin A+sin B+sin C),则其外接圆半径R=.11.()已知方程x2-(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和,且a,b为ABC的两边,A,B为ABC的两内角,则ABC的形状为.12.(2021山西大学附中高二
7、上模块诊断,)在ABC中,a=x,b=2,B=60,若该三角形有两解,则x的取值范围为.13.()在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA-3cosCcosB=3c-ab,则ac=.三、解答题14.()在ABC中,已知a=3,b=26,B=2A,求:(1)cos A的值;(2)c的值.15.(2021湖南怀化高二上联考,)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,1sinA+1sinC=83,a,b,c成等差数列.(1)求1tanA+1tanC的值;(2)若sin B=45,求abc的值.16.()在ABC中,已知a+ba=sinBsinB-sinA,且cos(A-
8、B)+cos C=1-cos 2C.(1)试确定ABC的形状;(2)求a+cb的取值范围.17.()在ABC中,|AC|=1,ABC=120,BAC=,记f()=ABBC.(1)求f()关于的表达式;(2)求f()的值域.18.(2019河南郑州一中高二上期中,)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范围.答案全解全析第二章解三角形1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理第1课时正弦定理基础过关练1.B由正弦定理可得ab=sin Asin B,故B正确,故选B.2.D由ABC=411且A+B+C=,得
9、A=23,B=6,C=6,所以sin A=32,sin B=12,sin C=12.又abc=sin Asin Bsin C,所以abc=311.3.B由正弦定理及已知得asinA=bsinB=bcosB,所以sin B=cos B.又因为B(0,),所以B=4.4.答案32解析由正弦定理得sin A=6326=32,所以sin(B+C)=sin(-A)=sin A=32.5.B在ABC中,由正弦定理,得BCsinA=ABsinC,所以BC=ABsinAsinC=3226+24=266+2=3-3.6.A由已知及A+B+C=180,得C=30,再由正弦定理得c=bsinCsinB=221222
10、=2.7.答案32-23解析由正弦定理,得ab=sinAsinB=62,即a=62b,代入a+b=3,得62+1b=3,所以b=236+2=32-23.8.解析(1)由cos C=255,且C是ABC的内角,得sin C=1-cos2C=55.由B=4,得sin B=cos B=22.所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=22255+2255=31010.(2)在ABC中,由正弦定理,得BCsinA=ACsinB,即BC=ACsinBsin A=252231010=6.9.解析asinA=bsinB=csinC,b=asinBsinA=22sin45si
11、n30=222212=4.C=180-(A+B)=180-(30+45)=105,c=asinCsinA=22sin105sin30=22sin7512=2+23.10.A由正弦定理及已知,得sin A=asinBb=22.因为0Aa,所以BA,所以A=45.11.C由正弦定理得sin B=bsinCc=32,因为bc,所以BC.又因为0B180,所以B=60或B=120.当B=60时,A=90,所以a=csinAsinC=12;当B=120时,A=30=C,所以a=c=6.所以a=6或a=12.12.A由已知及正弦定理可得,sin B=bsinCc=22,因为bc,所以BC,所以B=45,所
12、以ABC只有一解.13.答案33解析由正弦定理及已知得,sin B=bsinAa=103215=33.14.答案2解析由正弦定理及已知,得sin C=csinBb=2222=1,0C,C=2,a2+b2=c2,又c=2,b=2,a=2.15.B由acos B-bcos A=c,得accos B-bccos A=1.由正弦定理,得sinAcosBsinC-sinBcosAsinC=1,即sin(A-B)=sin C.又因为A,B,C(0,),所以A-B=C或A-B=-C,即A=B+C或A+C=+B.由A=B+C,得A=2;由A+C=+B,得-B=+B,即B=0,不成立.所以A=2.故ABC是直角
13、三角形.16.C由cbcos A及正弦定理,得sin Csin Bcos A.因为sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A,所以sin Bcos A+cos Bsin Asin Bcos A,即sin Acos B0,又因为A,B(0,),所以cos B0,所以b=c,所以B=C.由b=asin C及正弦定理,得sin B=sin Asin C=sin Asin B,所以sin A=1,所以A=2,所以ABC是等腰直角三角形.解法二:由b=asin C,c=asin B,得bc=sinCsinB,由正弦定理,得sinBsinC=sinCsinB,所以sin2B=
14、sin2C.因为0B,0C0,sin C0,所以sin B=sin C,所以B=C.由b=asin C及正弦定理,得sin B=sin Asin C=sin Asin B,所以sin A=1,又0A,所以A=2,所以ABC为等腰直角三角形.能力提升练一、选择题1.A因为cos A=13,所以sin A=1-19=223,由正弦定理,得4sinA=3sinB,所以sin B=22,因为ba,所以BA2,故B=4.2.C因为cos A=35,所以sin A=1-cos2A=1-352=45,所以sin C=sin180-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=45
15、cos 45+35sin 45=7210.由bsinB=csinC,得b=17210sin 45=57.3.B由正弦定理及已知,得sinB3cosB=sinAsinA=1,即tan B=3,又B(0,),所以B=3,所以cos B=cos3=12.故选B.4.A由正弦定理,得bsinB=asinA,所以sin B=bsinAa,所以bsinBc=b2sinAac=sin A=sin 30=12.5.A由已知及正弦定理,得sin2Asin B+sin Bcos2A=23sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=23sin A,所以sin B=23sin A,所以b=23a,即ba=23
16、.故选A.6.C因为mn,所以mn=0,即3cos A-sin A=0,所以tan A=3,即A=3.由正弦定理及已知,得sin Acos B+cos Asin B=sin2C,即sin(A+B)=sin C=sin2C,因为0C,所以sin C=1,即C=2.所以B=-A-C=6.7.B如图所示,设BAD=CAD=,在ABD中,由正弦定理,得ADsinB=ABsinADB,所以sinADB=ABsinBAD=22.因为0ADB60,所以ADB=45,ADC=135,=15.所以C=180-15-135=30.在ACD中,ADsinC=ACsinADC,所以AC=ADsinADCsinC=32
17、212=6.8.CABC是锐角三角形,且B=2A,02A2,且B+A=3A,23A,6A4.又a=1,由正弦定理,可得ba=b=sin2AsinA=2cos A,即b=2cos A.22cos AAB=3,sin A32,1,x2,433.故答案为2,433.13.答案13解析由正弦定理及已知,得cosA-3cosCcosB=3sinC-sinAsinB,即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)cos B,整理,得sin(A+B)=3sin(B+C),即sin C=3sin A,所以sinAsinC=ac=13.三、解答题14.解析(1)由正弦定理及已知,得3si
18、nA=26sin2A,所以2sinAcosAsinA=263,所以cos A=63.(2)由(1)知cos A=63,所以sin A=1-cos2A=33.因为B=2A,所以cos B=cos 2A=2cos2A-1=13,所以sin B=1-cos2B=223.在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=539,由正弦定理,得asinA=csinC,所以c=asinCsinA=5.15.解析(1)由已知得2b=a+c,由正弦定理得2sin B=sin A+sin C,1sinA+1sinC=sinA+sinCsinAsinC=2sinBsinAsin
19、C=83,1tanA+1tanC=cosAsinA+cosCsinC=sinAcosC+cosAsinCsinAsinC=sinBsinAsinC=43.(2)若sin B=45,则sin Asin C=35,即sin A85-sinA=35,解得sin A=1或sin A=35.当sin A=1时,sin C=35,abc=sin Asin Bsin C=543;当sin A=35时,sin C=1,abc=sin Asin Bsin C=345.16.解析(1)a+ba=sinBsinB-sinA,a+ba=bb-a,b2-a2=ab.cos(A-B)+cos C=1-cos 2C,cos
20、(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,cos Acos B+sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=2sin2C,2sin Asin B=2sin2C,sin Asin B=sin2C,ab=c2.b2-a2=c2,即a2+c2=b2,ABC为直角三角形.(2)由(1)知B=2,A+C=2,sin C=cos A.a+cb=sinA+sinCsinB=sinA+sinCsin2=sin A+cos A=2sinA+4,且0A2,4A+434,22sinA+41,12sinA+42,即a+cb的取值范围为(1,2.17.解析(1)由正弦定理,得|BC|sin=|A
21、C|sinABC=|AB|sinACB,|BC|=sinsin120=233sin ,|AB|=sin(60-)sin120=233sin(60-),f()=ABBC=|AB|BC|cos 60=23sin sin(60-)=23sin 32cos-12sin=33sin cos -13sin2=36sin 2-16(1-cos 2)=13sin(2+30)-16(060).(2)由060得,302+30150,120,A0,4,sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98,0A4,0sin A22,22-2sinA-142+9898,sin A+sin C的取值范围是22,98.
