1、第二章函数本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设-1,12,1,2,3,使函数y=x的定义域为R且为奇函数的所有的值为()A.1,3 B.1,2C.2,3 D.-1,1,32.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上是增函数的是()A.y=|x| B.y=3-xC.y=1x D.y=-x2+43.二次函数f(x)=ax2+bx+8满足条件f(-1)=f(3),则f(2)的值为()A.5 B.6C.8 D.与a,b值有关4.函数f(x)=(x+2)2+mx+1是偶函数,则m=
2、()A.0 B.2C.4 D.-45.已知f12x-1=2x-5,且f(a)=6,则a等于()A.-74 B.74C.43 D.-436.已知函数f(x)=mx2+mx+1的定义域是一切实数,则m的取值范围是()A.0m4B.0m1C.m4D.0m47.已知奇函数f(x)在(-,+)上单调递减,若f(1)=-2,则满足f(x-1)2的x的取值区间是()A.0,+)B.(-,0C.2,+)D.(-,28.已知定义域为R的函数f(x)满足f(3-x)=f(x+1),当x2时, f(x)单调递减,且f(a)f(0),则实数a的取值范围是()A.2,+)B.0,4C.(-,0)D.(-,0)4,+)9
3、.函数f(x)=25-3x+3x在区间-1,1上的最大值为()A.22B.3+22C.13-42D.-410.如图所示,在直角梯形ABCD中,A=90,B=45,AB=5,AD=3,点E由B沿折线B-C-D向点D移动,EMAB于M,ENAD于N,设MB=x,矩形AMEN的面积为y,那么y与x的函数关系图像大致是()11.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,而函数y=f(x)x在区间I上是减函数,那么称函数f(x)在区间I上为“缓增函数”,区间I为f(x)的“缓增区间”.若函数f(x)=x2-2x+4是区间I上的“缓增函数”,则f(x)的“缓增区间”I为()A.1,+)B.2,+)C.0,1
4、D.1,212.已知函数f(x)的定义域是(0,+),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f12=1,如果对于0xf(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)-2的解集为()A.-4,0)B.-1,0)C.(-,0D.-1,4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知f(x-1)=x-2x,则函数f(x)的解析式为.14.已知函数f(x)=|2x-a|的单调递增区间是3,+),则a的值为.15.已知函数f(x)=2x2-ax的单调递减区间是(-,1,则f(x)在0,3上的最大值为.16.函数f(x)=x的函数值表示不超过x的最大整数,例如,-3.5=
5、-4,2.1=2.已知定义在R上的函数g(x)=x+2x,若A=y|y=g(x),0x1,则A中所有元素的和为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)-ax-3在1,3上不是单调函数,求实数a的取值范围.18.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)是在-1,1上的奇函数,当-1x1,求证:|x1x2|1.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x0时,有f
6、(x)1.(1)求f(0);(2)求证:f(x)在R上为增函数;(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)0,符合题意;当m0时,由二次函数y=mx2+mx+1的图像没有在x轴下方的点知,m0,=m2-4m0,解得0m4.综上所述,0m4,故选D.7.A由函数f(x)是奇函数,且f(1)=-2,可得f(-1)=-f(1)=2,又由函数f(x)在(-,+)上单调递减,且f(x-1)2,即f(x-1)f(-1),所以x-1-1,解得x0,故满足f(x-1)2的x的取值区间是0,+).故选A.8.B由f(3-x)=f(x+1)可知,f(x)的图像关于直线x=2对称,则f(0
7、)=f(4).因为当x2时, f(x)单调递减,所以当x2时, f(x)单调递增,又f(x)的定义域为R, f(a)f(0),所以a0,4.故选B.9.B由题意得y2,8,令5-3x=t,所以t2,22,x=5-t23,所以g(t)=-t2+2t+5(t2,22).因为g(t)在2,22上单调递减,所以g(t)max=g(2)=-2+22+5=3+22,所以f(x)在区间-1,1上的最大值为3+22,故选B.10.CEMAB,B=45,EM=MB=x,AM=5-x.当点E在BC上运动时,即当0x3时,y=x(5-x)=-x-522+254;当点E在CD上运动时,矩形AMEN即为矩形AMED,此
8、时3x5,y=-3x+15.y与x的函数关系式为y=-x-522+254(0x3),-3x+15(3x5).画出图像如选项C所示.故选C.11.D由二次函数的基本性质可知,函数f(x)=x2-2x+4的单调递增区间为1,+).设g(x)=f(x)x=x+4x-2,则由对勾函数的性质可知,g(x)在区间(0,2上为减函数,在区间2,+)上为增函数.因此,f(x)的“缓增区间”I为1,+)(0,2=1,2.故选D.12.B令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=12,y=2,得f(1)=f(2)+f12,即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.由f(-x)
9、+f(3-x)-2,可得f(x2-3x)f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+),且对于0xf(y),所以-x0,3-x0,x2-3x4,即x0,x3,-1x4,解得-1x0,即不等式f(-x)+f(3-x)-2的解集为-1,0).二、填空题13.答案f(x)=x2-1(x-1)解析令t=x-1,得x=t+1,且t-1,因此f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t2-1(t-1).故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x-1).14.答案6解析因为f(x)=|2x-a|=2x-a,xa2,-2x+a,xa2,所以f(x)=|2x-a|的单调递减区间是-,a2,单调递增区间是a2,
10、+,又函数f(x)=|2x-a|的单调递增区间是3,+),所以a2=3,解得a=6.15.答案6解析因为函数f(x)=2x2-ax的单调递减区间为(-,1,所以a4=1,所以a=4,即f(x)=2x2-4x,所以f(x)在0,1上单调递减,在1,3上单调递增,又f(0)=0,f(3)=6,所以函数f(x)在0,3上的最大值为6.16.答案4解析当x0,12时,02x1,g(x)=x+2x=0;当x12,1时,12x2,g(x)=x+2x=1;当x=1时,2x=2,g(x)=x+2x=3.所以A=y|y=g(x),0x1=0,1,3,所以A中所有元素的和为4.三、解答题17.解析(1)由题意得,
11、m2-5m+7=1,即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3,(3分)又f(x)为偶函数,所以m=3,此时f(x)=x2.(5分)(2)由(1)知,g(x)=x2-ax-3,(7分)因为g(x)=f(x)-ax-3在1,3上不是单调函数,所以1a23,解得2a6,即a(2,6).(10分)18.解析(1)设-1x1x20,f(x1)-f(x2)=x1x12+1-x2x22+1=(x1x2-1)(x2-x1)(x12+1)(x22+1).(3分)-1x1x20,x1x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),(5分)f(x)在-1,0)上单调递增.(6分)(2)函数f(x)在-1,
12、0)上是增函数,f(-1)f(x)0时,-x0,x2+2x,x0.(6分)(3)由(2)知,g(x)=x2-(2a+2)x+2(x1,2).因为函数g(x)的图像的对称轴为直线x=-(2a+2)2=a+1,所以当a+11,即a0时,函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a;当a+12,即a1时,函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a;当1a+12,即0a1时,函数g(x)的最小值为g(a+1)=-a2-2a+1.综上所述,g(x)min=1-2a,a0,-a2-2a+1,0a1x12x12+1+x22x22+11x12(x22+1)+x22(x12+1)(x12+1)(x22+1)x12x2
13、21|x1x2|1.(12分)21.解析(1)令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,f(0)=1.(3分)(2)证明:任取x1,x2R且x10, f(x2-x1)1.f(m+n)=f(m)+f(n)-1,f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-11+f(x1)-1=f(x1),f(x2)f(x1),f(x)在R上为增函数.(6分)(3)f(ax-2)+f(x-x2)3,即f(ax-2)+f(x-x2)-12,f(ax-2+x-x2)2.f(1)=2,f(ax-2+x-x2)f(1),又f(x)在R上为增函数,ax-2+x-x20对任意的x1,+)恒成立.(8分)令
14、g(x)=x2-(a+1)x+3(x1),只需满足g(x)min0即可.当a+121,即a1时,g(x)在1,+)上递增,因此g(x)min=g(1),由g(1)0得a1,即a1时,g(x)min=ga+12,由ga+120得-23-1a23-1,此时1a23-1.综上,实数a的取值范围为(-,23-1).(12分)22.解析(1)当40x60时,设AB的方程为y=k1x+b1,将A,B两点坐标代入方程得60=40k1+b1,20=60k1+b1,解得k1=-2,b1=140,所以AB的方程为y=-2x+140;当60x80时,同理可得BC的方程为y=-12x+50,所以y=-2x+140(4
15、0x60),-12x+50(60x80).(4分)(2)设该店有职工m名,当x=50时,该店总收入为100(-250+140)(50-40)=40 000(元),又该店的总支出为(1 000m+10 000)元,所以依题意得40 000=1 000m+10 000,解得m=30.所以此时该店有30名职工.(6分)(3)设月利润为S元,若该店只有20名职工,则月利润S=(-2x+140)(x-40)100-30000(40x60),-12x+50(x-40)100-30000(60x80).(8分)当40x60时,S=-200(x-55)2+15 000,所以当x=55时,S取最大值,为15 000;当60x80时,S=-50(x-70)2+15 000,所以当x=70时,S取最大值,为15 000.(10分)故当x=55或x=70时,S取最大值15 000元,即销售单价定为55元或70元时,该专卖店月利润最大.(12分)
