1、铁一中模拟考试 数 学(理科)试 题第卷 选择题(共50分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.已知集合,则A. B. C. D. 【答案】C【KS5U解析】因为集合,所以。2.已知复数(是虚数单位)在复平面上表示的点在第四象限,且,则A. B. C. D. 【答案】B【KS5U解析】因为复数(是虚数单位)在复平面上表示的点在第四象限,所以,又因为,所以。3如图的程序框图,如果输入三个实数a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的A. ? B. ? C. ? D. ?【答案】A【
2、KS5U解析】在空白的判断框中应该填入?。4函数为奇函数,且在上为减函数的值可以是A B C D【答案】D【KS5U解析】,因为此函数为奇函数,所以,又因为函数在上为减函数,所以为奇函数,且在上为减函数的。5下列命题中,真命题是A BC D【答案】D【KS5U解析】A错误; B,错误;C错误; D正确。6若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分,则k的值为A. B. C. D.【答案】C【KS5U解析】画出不等式组表示的平面区域,若平面区域被直线分成面积相等的两部分,需要直线过点代入直线方程得k的值为。7如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为
3、A B C D【答案】B【KS5U解析】由已知中三视图该几何体为四棱柱,其底面底边长为底边上的高为:,故底面积,又因为棱柱的高为3,故。故选B8已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在上=,则到轴的距离为 A. B. C. D.【答案】B【KS5U解析】不妨设点P(x0,y0)在双曲线的右支上,且|PF1|=m,|PF2|=n,则,由双曲线的第二定义可得,9如图,正方体中,为底面上的动点,于,且,则点的轨迹是A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分【答案】A【KS5U解析】连接A1P,由题意知A1AAP, 因为PEA1C,且PA=PE,所以A1APA1EP,所以A1A=A1E,即E
4、为定点因为PA=PE,所以点P位于线段 AE的中垂面上,又点P在底面上,所以点P的轨迹为两平面的交线,即点P的轨迹是线段故选A10设函数,若互不相等的实数满足,则的取值范围是 A. B C D.【答案】D【KS5U解析】画出函数的图像,如图所示:不妨设x1x2x3,则x2,x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6,且x1满足x10;则x1+x2+x3的取值范围是:+6x1+x2+x30+6;即x1+x2+x3.第卷 非选择题(共100分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分25分,把答案填写在答题卡相应的位置)11设函数,其中,则的展开式中的系数为_【答案】10【KS5U解析】,所以,
5、所以的展开式中的系数为。12已知直线和圆,则与直线和圆都相切且半径最小的圆的标准方程是_ 【答案】【KS5U解析】圆:的圆心C(6,6),半径r=,圆心C(6,6)到的距离:与直线和圆都相切的半径最小的圆的圆心在过C与垂直的直线l上,所求圆的半径直线l:y-6=x-6,即y=x,设所求圆方程为:,解方程组:得与l的交点(1,1),解方程:(a-1)2+(a-1)2=2,得a=2,或a=0不符合已知条件,舍去所求圆方程为:13将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案方法种数为_(用数字作答)【答案】24【KS5U解析】甲同
6、学不能分配到A班,则甲可以放在B、C班,有A21种方法,另外三个同学有2种情况,三人中,有1个人与A共同分配一个班,即A、B、C每班一人,即在三个班级全排列A33;三人中,没有人与甲共同参加一个班,这三人都被分配到甲没有分配的2个班,则这三中一个班1人,另一个班2人,可以从3人中选2个为一组,与另一人对应2个班,进行全排列,有C32A22种情况,另外三个同学有A33+C32A22种安排方法。不同的分配方案有A21(A33+C32A22)=24,故答案为2414设P为等边所在平面内的一点,满足,若AB=1,则的值为_【答案】3【KS5U解析】15选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多
7、做,则按所做的第一题评阅记分)(1)(选修41 几何证明选讲)如图,是圆外一点,过引圆的两条割线、,则_ 【答案】2【KS5U解析】因为。(2)(选修45 不等式选讲)若不等式对任意的实数恒成立,则实数的取值范围是_【答案】【KS5U解析】易知函数的最小值为4,所以要使对任意的实数恒成立,需,解得。(3)(选修44坐标系与参数方程)已知直线的参数方程为 (为参数),圆的参数方程为 (为参数), 则圆心到直线的距离为_ 【答案】【KS5U解析】直线和圆C的直角坐标方程分别为:,所以圆心到直线的距离为。三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共6小题,共75分)16(本小题满分1
8、2分)已知函数(1)求的最小正周期和单调递增区间;(2)求在区间上的最大值与最小值17(本小题满分12分)数列的前项和是,且. 求数列的通项公式; 记,数列的前项和为,证明:.18(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,侧面与底面垂直,分别是的中点,.(1)若点在线段上,问:无论在的何处,是否都有?请证明你的结论;(2)求二面角的平面角的余弦值.19(本小题满分12分)某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测(1)求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率;(2)记为抽取的名同学中男同学的人数,求随机变量的分布列和数
9、学期望 20.(本小题满分13分)已知是x轴上的点,坐标原点O为线段的中点,是坐标平面上的动点,点P在线段FG上,.(1)求的轨迹C的方程;(2)、为轨迹上任意两点,且,为AB的中点,求面积的最大值.21.(本小题满分14分)已知函数 (是自然对数的底数).(1)当时,求的单调区间; (2)若在区间上是增函数,求实数的取值范围;(3)证明对一切恒成立. 铁一中模拟考试 数学(理科)参考答案一、选择题:题号12345678910答案CBADDCBBAD二、填空题: 1110; 12; 1324; 14315(1)2; (2) (3)三、解答题16解:(1)由已知可得,的最小正周期是, 3分 由,
10、 得 所以函数的单调递增区间为6分(2)由(1)因为,所以 , 8分 当时,即时,取得最大值; 当,即时,取得最小值 12分17. 解:(1)由题 , ,-可得,则.3分当时 ,则,则是以为首项,为公比的等比数列,因此.6分(2),8分所以,. 12分18解:(1) 在中,/,,平面平面,平面,平面, , 平面, 平面, ,所以无论在的何处,都有. 6分(2) 由(1)平面,又,平面,是二面角的平面角,在中,所以二面角的平面角的余弦值为, 12分法二:(1) 是的中点, ,又平面平面,平面,同理可得平面,在平面内,过作 以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则,3分,设,则,
11、恒成立,所以无论在的何处,都有,6分(2)由(1)知平面的法向量为= ,设平面的法向量为, 则,即,令,则,10分, ,所以二面角的平面角的余弦值为, 12分19. 解:(1)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 , 所以,从甲组抽取的学生人数为;从乙组抽取的学生人数为设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件,则 ,故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为 6分 (2)随机变量的所有取值为 ,,,所以,随机变量的分布列为: 12分 20. 解:(1)取EG的中点为H,则,PH是线段EG的垂直平分线, 2分,P点的轨迹为椭圆,设其轨迹方程为,4分则2a=10,a=5,2c=6,c=3,b2=a2-c2=16,. 6分(2) ,A、B、E三点共线, 8分,设AB所在直线方程为,联立,整理得,M点的纵坐标为, 11分=,当,即时,OEM的面积最大为. 13分21解:(1)当时, ,由,所以,在区间上单调递增,在区间上单调递减. 4分 (2),由题意得当时,恒成立,令,有,得,所以的范围是, 9分(3)令得,所以在上为减函数,对于任意,都有,故有,即,即 14分