1、铁一中模拟考试 数 学（理科）试 题第卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【KS5U解析】因为集合，所以。2.已知复数（是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则A. B. C. D. 【答案】B【KS5U解析】因为复数（是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，所以，又因为，所以。3如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A. ? B. ? C. ? D. ?【答案】A【
2、KS5U解析】在空白的判断框中应该填入?。4函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是A B C D【答案】D【KS5U解析】，因为此函数为奇函数，所以，又因为函数在上为减函数，所以为奇函数，且在上为减函数的。5下列命题中，真命题是A BC D【答案】D【KS5U解析】A错误； B，错误；C错误； D正确。6若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则k的值为A. B. C. D.【答案】C【KS5U解析】画出不等式组表示的平面区域，若平面区域被直线分成面积相等的两部分，需要直线过点代入直线方程得k的值为。7如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为
3、A B C D【答案】B【KS5U解析】由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为底边上的高为：，故底面积，又因为棱柱的高为3，故。故选B8已知、为双曲线C:的左、右焦点，点在上=，则到轴的距离为 A. B. C. D.【答案】B【KS5U解析】不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支上，且|PF1|=m，|PF2|=n，则，由双曲线的第二定义可得，9如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分【答案】A【KS5U解析】连接A1P，由题意知A1AAP， 因为PEA1C，且PA=PE，所以A1APA1EP，所以A1A=A1E，即E
4、为定点因为PA=PE，所以点P位于线段 AE的中垂面上，又点P在底面上，所以点P的轨迹为两平面的交线，即点P的轨迹是线段故选A10设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 A. B C D.【答案】D【KS5U解析】画出函数的图像，如图所示：不妨设x1x2x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足x10；则x1+x2+x3的取值范围是：+6x1+x2+x30+6；即x1+x2+x3.第卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）11设函数，其中，则的展开式中的系数为_【答案】10【KS5U解析】，所以，
5、所以的展开式中的系数为。12已知直线和圆,则与直线和圆都相切且半径最小的圆的标准方程是_ 【答案】【KS5U解析】圆：的圆心C（6，6），半径r=，圆心C（6，6）到的距离：与直线和圆都相切的半径最小的圆的圆心在过C与垂直的直线l上，所求圆的半径直线l：y-6=x-6，即y=x，设所求圆方程为：，解方程组：得与l的交点（1，1），解方程：（a-1）2+（a-1）2=2，得a=2，或a=0不符合已知条件，舍去所求圆方程为：13将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案方法种数为_（用数字作答）【答案】24【KS5U解析】甲同
6、学不能分配到A班，则甲可以放在B、C班，有A21种方法，另外三个同学有2种情况，三人中，有1个人与A共同分配一个班，即A、B、C每班一人，即在三个班级全排列A33；三人中，没有人与甲共同参加一个班，这三人都被分配到甲没有分配的2个班，则这三中一个班1人，另一个班2人，可以从3人中选2个为一组，与另一人对应2个班，进行全排列，有C32A22种情况，另外三个同学有A33+C32A22种安排方法。不同的分配方案有A21（A33+C32A22）=24，故答案为2414设P为等边所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值为_【答案】3【KS5U解析】15选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多
7、做，则按所做的第一题评阅记分）（1）(选修41 几何证明选讲）如图，是圆外一点，过引圆的两条割线、，则_ 【答案】2【KS5U解析】因为。（2）（选修45 不等式选讲）若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【KS5U解析】易知函数的最小值为4，所以要使对任意的实数恒成立，需，解得。（3）（选修44坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为 (为参数), 则圆心到直线的距离为_ 【答案】【KS5U解析】直线和圆C的直角坐标方程分别为：，所以圆心到直线的距离为。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）16（本小题满分1
8、2分）已知函数（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）求在区间上的最大值与最小值17（本小题满分12分）数列的前项和是，且. 求数列的通项公式； 记，数列的前项和为，证明：.18（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与底面垂直,分别是的中点,.（1）若点在线段上，问：无论在的何处，是否都有？请证明你的结论；（2）求二面角的平面角的余弦值.19（本小题满分12分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取名同学进行学业检测（1）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；（2）记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数
9、学期望 20.（本小题满分13分）已知是x轴上的点，坐标原点O为线段的中点，是坐标平面上的动点，点P在线段FG上，.（1）求的轨迹C的方程；（2）、为轨迹上任意两点，且，为AB的中点，求面积的最大值.21.（本小题满分14分）已知函数 （是自然对数的底数）.（1）当时，求的单调区间； （2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）证明对一切恒成立. 铁一中模拟考试 数学（理科）参考答案一、选择题：题号12345678910答案CBADDCBBAD二、填空题: 1110； 12； 1324； 14315（1）2； (2) (3)三、解答题16解：（1）由已知可得,的最小正周期是, 3分 由，
10、 得 所以函数的单调递增区间为6分（2）由（1）因为，所以 ， 8分 当时，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值 12分17. 解：(1)由题 ， ，-可得，则.3分当时 ，则，则是以为首项，为公比的等比数列，因此.6分(2)，8分所以，. 12分18解：（1） 在中，/,，平面平面，平面，平面， , 平面， 平面， ，所以无论在的何处，都有. 6分(2) 由（1）平面，又，平面，是二面角的平面角，在中，所以二面角的平面角的余弦值为， 12分法二：（1） 是的中点， ，又平面平面，平面，同理可得平面，在平面内，过作 以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，3分，设，则，
11、恒成立，所以无论在的何处，都有，6分（2）由（1）知平面的法向量为= ，设平面的法向量为， 则，即，令，则，10分， ，所以二面角的平面角的余弦值为， 12分19. 解：（1）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ， 所以，从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件,则 ，故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为 6分 （2）随机变量的所有取值为 ,，,所以，随机变量的分布列为: 12分 20. 解：（1）取EG的中点为H,则,PH是线段EG的垂直平分线, 2分,P点的轨迹为椭圆，设其轨迹方程为，4分则2a=10,a=5,2c=6,c=3,b2=a2-c2=16，. 6分(2) ，A、B、E三点共线， 8分，设AB所在直线方程为，联立，整理得，M点的纵坐标为， 11分=，当，即时，OEM的面积最大为. 13分21解：（1）当时， ，由，所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 4分 （2），由题意得当时，恒成立,令，有，得，所以的范围是, 9分（3）令得，所以在上为减函数，对于任意，都有，故有，即，即 14分