1、单元素养检测(一)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.在四边形ABCD中,+=()A. B. C.D.【解析】选D.在四边形ABCD中,+=+=+=.2.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且a+b=(2,8),则-=()A.5B.-5C.1D.-1【解题指南】根据平面向量的坐标运算,得到方程组求出结果.【解析】选D.因为a=(1,1),b=(0,2),所以a+b=(,+2),因为a+b=(2,8),所以(,+2)=(2,8),所以=2,=3,所以-=-1.3.已知ABC中,D为AB上一
2、点,满足=2,且|=2|,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为ABC中,D为AB上一点,满足=2,则=,且|=2|,如图,延长CD到E,使=,则ACBE是平行四边形,由向量加法的平行四边形法则,得+=2,则|=|,所以平行四边形ACBE是矩形,即ABC的形状一定为直角三角形.4.在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE交AF于H,记=a,=b,则=()A.a-bB.a+bC.-a+bD.-a-b【解析】选B.如图,过点F作BC的平行线交DE于G,则G是DE的中点,且=,所以=,则AHDFHG,从而=,所以=,=+=
3、b+a,所以=a+b.5.已知正六边形OP1P2P3P4P5的边长为1,则(i=1,2,3,4,5)的最大值是()A.1B.C.D.2【解题指南】分别计算出当i=1,2,3,4,5时的值,比较即可得出答案.也可以运用向量的投影比较大小.【解析】选B.方法一:分别作(i=1,2,3,4,5)在方向的投影,易得在方向的投影大于1,所以=(+)=+=1+|cos60=1+=.方法二:如图,当i=1,2,3,4,5时,(i=1,2,3,4,5)的值相应是1,1,0,-,故最大值为.【点睛】本题考查正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识.6.(2019全国卷)已知=(2,3),=(3,t),|
4、=1,则=()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为|=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故=2.7.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=bcos C且c=6,A=,则ABC的面积为()A.2B.3C.4D.6【解析】选D.在ABC中,由a=bcos C且c=6,A=,由正弦定理,得=2a=2bcos C,所以c=2bsin Ccos C=6.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,即36=b2cos2C+b2-2b2cos2C=b2(1-cos2C)=b2sin2C,因为sin C0,所以bsin C
5、=6,代入2bsin Ccos C=6,得cos C=,由于0C,所以C=,B=-A-C=,所以a=ctan A=2,三角形的面积等于acsin B=261=6.【补偿训练】在ABC中,若=2且BAC=30,则ABC的面积为()A.B.2C.D.【解析】选C.在ABC中,若=2且BAC=30,得cos30=2,所以=,则ABC的面积为S=|sin30=.8.在三角形ABC中,=2,=2,BAC=45,P为线段AC上任意一点,则的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.设=,=,01,=(1-)(-),结合题目中的条件得到原式=4(1-)(1-2) =4,01,结合二次函数的性质得到范围是.
6、二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.在ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有一个解的是()A.b=10,A=45,B=60B.a=60,c=48,B=120C.a=7,b=5,A=75D.a=14,b=16,A=45【解析】选ABC.若b=10,A=45,B=60,则由正弦定理可得=,求得a=,故ABC有一解;若a=60,c=48,B=120,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=8 784,求得b只有一解,故ABC有一解;若a=7,b=5,A=75,则由正
7、弦定理可得=,求得sin B=,再根据ba,可得BA,所以B可能是锐角也可能是钝角,即角B有2个值,故ABC有两解.10.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是()A.=B.C.与共线D.=【解析】选ABC.如图,因为与方向相同,长度相等,所以A正确;因为B,O,D三点在一条直线上,所以,B正确;因为ABCD,所以与共线,C正确;因为与方向不同,所以,D错误.11.已知ab,=2=6,则的值可能为()A.3B.6C.8D.9【解析】选AD.因为ab,=2=6,则=6,=3.当a,b方向相同时,=+=9;当a,b方向相反时,=3.【易错警示】本题易忽略两个向量方向相反的情形而漏解.当两
8、个非零向量共线时,如果没有明确向量的方向相同或相反,要对两种情形分类讨论求值.12.点G为ABC的重心,AB=2,BC=1,ABC=60,则下列等式成立的是()A.ACB=90B.BG=C.=D.=-【解析】选ABCD.因为点G为ABC的重心,AB=2,BC=1,ABC=60,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=3,即AC=,由勾股定理逆定理,得ACB=90,所以BAC=30.延长BG交AC于点D,则D为AC的中点,CD=,在BCD中,BD2=BC2+CD2=,得BD=,所以BG=BD=,则=(-)(-)=-(+)+=-2+=-2+=-2+21=-2+1=-.延长CG
9、交AB于点E,则E为AB的中点,CE=1,CG=CE=,则=(-)=-=-=-(+)=-(+)=-(+)=-(0+1)=.【拓展延伸】三角形的四心与性质学习向量的加减法离不开三角形,三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分,你知道三角形“四心”的意义吗?它们与向量的表示是什么?下面的几个结论也许能给同学们一点帮助.一、三角形“四心”的意义重心:三角形三边中线的交点.垂心:三角形三边高线的交点.外心:三角形三边中垂线的交点.内心:三角形三条内角平分线的交点.二、三角形“四心”的向量表示结论1:若点O为ABC所在的平面内一点,满足=,则点O为ABC的垂心.证明:由=,得-=0,即(
10、-)=0,.同理可证,故O为ABC的垂心.结论2:若点O为ABC所在的平面内一点,满足+=+=+,则点O为ABC的垂心.证明:由+=+,得+(-)2=+(-)2,所以=.同理可证=.容易得到=,由结论1知O为ABC的垂心.结论3:若点G为ABC所在的平面内一点,满足+=0,则点G为ABC的重心.证明:由+=0,得-=+.设BC边中点为M,则2=+,所以-=2,即点G在中线AM上.设AB边中点为N,同理可证G在中线CN上,故点G为ABC的重心.结论4:若点G为ABC所在的平面内一点,满足=(+),则点G为ABC的重心.证明:由=(+),得(-)+(-)+(-)=0,得+=0.由结论3知点G为AB
11、C的重心.结论5:若点P为ABC所在的平面内一点,并且满足=+(+)(或=+(+),则点P为ABC的内心.证明:由于=+(+),可得=(+).设与同方向的单位向量为e1,与同方向的单位向量为e2,则=(e1+e2),因为e1、e2为单位向量,所以向量e1+e2在A的平分线上.由0,知点P在A的平分线上.同理可证点P在B的平分线上.故点G为ABC的内心.结论6:若点O为ABC所在的平面内一点,满足(+)=(+)=(+)=0,则点O为ABC的外心.证明:因为=-,所以(+)=|2-|2.同理得(+)=|2-|2, (+)=|2-|OA|.由题意得|2-|2=|2-|2=|2-|2,所以|2=|2=
12、|2,得|=|=|.故点O为ABC的外心.注意:|=|=|2=|2=|2(+)=(+)=(+)=0.以上几个结论不仅展示了三角形的“四心”的向量表示,而且是向量加减法应用的很好典例,值得大家关注.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知a=(2,-2),b=(x,2),若ab=6,则x=_.【解析】因为a=(2,-2),b=(x,2),所以ab=2x-4,又因为ab=6,所以2x-4=6,解得x=5.答案:514.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则ABC的面积为_.【解析】因为cos B=,
13、又因为b=6,a=2c,B=,可得c2=12,解得c=2,a=4,则ABC的面积S=42=6.答案:615.(2019浙江高考)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若BDC=45,则BD=_,cosABD=_.【解析】如图,在ABD中,由正弦定理有:=,而AB=4,ADB=,AC=5,sinBAC=,cosBAC=,所以BD=.cosABD=cos(BDC-BAC)=coscosBAC+sinsinBAC=.答案:【补偿训练】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos B=,b=4,SABC=4,则ABC的周长为_.【解题指南】先根据cos B=求出s
14、in B,再由SABC=4求出ac,最后再由余弦定理可求出a2+c2,进而可求出a,c的值,即可求出周长.【解析】由cos B=,得sin B=,由三角形面积公式可得acsin B=ac=4,则ac=12,结合余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得16=a2+c2-212,则a2+c2=24,由联立可得a=c=2,所以ABC的周长为4+4.答案:4+416.已知点M是ABC所在平面内的一点,若满足6-2=0,且SABC=SABM,则实数的值是_.【解析】记2=,因为-+2-2=0,所以=2,如图,得SABN=SABC,又因为SABM=SABN,所以SABC=3SABM,从而有=3.答
15、案:3四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量|a|=2,ab=1,a在b方向上的投影为1.(1)求向量a,b的夹角;(2)求|a-b|.【解析】(1)因为|a|=2,ab=1,由a在b方向上的投影为1,得=1,所以=1,向量a,b的夹角满足cos =,又0,得=.(2)|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=4-21+1=3,所以|a-b|=.18.(12分)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,(1)ka+b与a-3b垂直?(2)ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?【解析】由a=(1,
16、2),b=(-3,2),得ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),(1)(ka+b)(a-3b),得(ka+b)(a-3b)=10(k-3)-4(2k+2)=2k-38=0,解得k=19.(2)(ka+b)/(a-3b),得-4(k-3)=10(2k+2),解得k=-,此时ka+b=(-,)=-(10,-4),所以方向相反.【补偿训练】如图,已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,动点M,N满足=,=,0.(1)当=时,求|-|的值;(2)若=-2,求+的值.【解题指南】(1)=时,M,N分别为BC,CD的中点,可得
17、=,根据模长的计算公式得到结果;(2)根据平面向量基本定理得到=(+)(+),按照向量点积公式展开得到结果.【解析】(1)当=时,M,N分别为BC,CD的中点,此时易得=且,的夹角为60,则=.(2)=(+)(+)=+,所以-2=22+22+22+22(-),所以4(+)=2,所以2(+)=,故+=.19.(12分)设向量m=,n=,在ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边,且2csin C=(2b-a)sin B+(2a-b)sin A.(1)求角C;(2)若mn,边长c=2,求ABC的周长l和面积S的值.【解析】(1)由已知可得2c2=(2b-a)b+(2a-b)a,即c2=b2+a2
18、-ab,所以cos C=,所以C=.(2)由题意可知mn,可得a+b=0,所以a+b=ab,由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,则(a+b)2-3(a+b)-4=0,即a+b=4,故周长为4+2=6,面积为S=absin C=4sin=.20.(12分)已知在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sin A-cos A,1-sin A),q=(2+2sin A,sin A+cos A),p与q是共线向量,且A.(1)求角A的大小;(2)若sin C=2sin B,且a=,试判断ABC的形状,并说明理由.【解析】(1)因为pq,所以(sin A-c
19、os A)(sin A+cos A)-2(1-sin A)(1+sin A)=-cos2A-2cos2A=0,所以1+2cos2A=0,所以cos2A=-.因为A,所以2A,所以2A=,所以A=.(2)ABC是直角三角形.理由如下:由cos A=,a=及余弦定理得b2+c2-bc=3.又sin C=2sin B,由正弦定理得c=2b.联立可得解得所以a2+b2=()2+12=4=c2,所以ABC是直角三角形.21.(12分)在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PC=,求PA;(2)若APB=150,求ABP的面积S.【解析】(1)因为在ABC中,
20、ABC=90,AB=,BC=1,所以sinPBC=,可得PBC=60,BP=BCcos60=.因为PBA=90-PBC=30,所以APB中由余弦定理,得PA2=PB2+AB2-2PBABcosPBA,得PA2=+3-2=,解得PA=(舍负值).(2)设PBA=,可得PBC=90-,PAB=180-PBA-APB=30-,在RtBPC中,PB=BCcosPBC=cos(90-)=sin ,ABP中,由正弦定理得=,所以sin =2sin(30-)=2(cos -sin ),化简得4sin =cos ,所以结合是锐角,解得sin =,所以PB=sin =,所以ABP的面积S=ABPBsinPBA=
21、.22.(12分)(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.因为sin A0,所以sin=sin B.由A+B+C=180,可得sin=cos,故cos=2sincos.因为cos0,故sin=,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a.由正弦定理得a=+.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90,由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2,从而SABC.因此,ABC面积的取值范围是.
