1、课时素养评价 三十一直线与平面垂直(二) (15分钟30分)1.设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则能使ab成立的是() A.ac,bcB.,a,bC.a,bD.a,b【解析】选C.由a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,得在A中,因为ac,bc,所以a,b相交、平行或异面,故A错误;在B中,因为,a,b,所以a,b相交、平行或异面,故B错误;在C中,因为a,b,所以由线面垂直的性质定理得ab,故C正确;在D中,因为a,b,所以由线面垂直的性质定理得ab,故D错误.2.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则()A.AECC1B.AEB1D1C.AE
2、BCD.AECD【解析】选B.如图所示.连接AC,BD,因为ABCD -A1B1C1D1是正方体,所以四边形ABCD是正方形,ACBD,CE平面ABCD,所以BDCE,而ACCE=C,故BD平面ACE,因为BDB1D1,故B1D1平面ACE,故B1D1AE.3.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点P是线段BC1上任意一点,则下列结论中正确的是()A.AD1DPB.APB1CC.AC1DPD.D1PB1C1【解析】选B.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,因为B1CBC1,B1CAB,BC1AB=B,所以B1C平面ABC1D1,因为点P是线段BC1上任意一点,所以APB1C.【光速解题
3、】在正方体中,面上的对角线与B1C平面ABC1D1是常用的垂直,可直接应用进行判断.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,则四个侧面PAB,PBC,PCD,PAD中,有个直角三角形.【解析】因为PA平面ABCD,所以PAAB,PAAD,所以PAB,PAD为直角三角形,因为BCPA,BCAB,所以BC平面PAB,所以BCPB,所以PBC为直角三角形,同理,PDC为直角三角形,所以四个侧面三角形均为直角三角形.答案:45.ABC的三个顶点A,B,C到平面的距离分别为2 cm,3 cm,4 cm,且它们在的同侧,则ABC的重心到平面的距离为 cm.【解析】如图,设A
4、,B,C在平面上的射影分别为A,B,C,ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于点E,又设E,G在平面上的射影分别为E,G,则EAB,GCE,EE=(AA+BB)=,CC=4,CGGE=21,在直角梯形EECC中可求得GG=3.答案:36.如图,在直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=AC,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动.证明:ADC1E.【证明】因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC.又在直三棱柱ABC -A1B1C1中,BB1平面ABC,而AD平面ABC,所以ADBB1.由得AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动,得C1E平面BB1C1C,所以ADC1E. (30分钟6
5、0分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,若E是A1C1与B1D1的交点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】选B.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是A1C1与B1D1的交点,设O是AC,BD的交点,连接EO,则EO平面ABCD,所以EOBD,又COBD,COEO=O,所以BD平面COE,因为CE平面COE,所以BDCE.2.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是()A.B.2C.3D.4【解析】选D.过A作ADBC于D,连接PD,因为AB=AC=5,BC=6,
6、所以BD=DC=3,又因为PA平面ABC,PAAD=A,所以BCPD,所以点P到BC的距离是PD,在ADC中,AC=5,DC=3,所以AD=4,在RtPAD中,PD=4.3.如图,已知ABC为直角三角形,其中ACB=90,M为AB的中点,PM垂直于ABC所在平面,那么()A.PA=PBPCB.PA=PBPCC.PA=PB=PCD.PAPBPC【解析】选C.因为PM平面ABC,MC平面ABC,所以PMMC,PMAB.又因为M为AB中点,ACB=90,所以MA=MB=MC.所以PA=PB=PC.4.(2020信阳高一检测)如图,在直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=AC=AA1=,若A1CBC
7、1,则BC1=()A.2B.2C.3D.3【解析】选C.如图,连接AC1,因为AC=AA1,所以直三棱柱ABC -A1B1C1的侧面ACC1A1为正方形,所以A1CAC1,因为A1CBC1,AC1BC1=C1,所以A1C平面ABC1,所以A1CAB,因为ABAA1,A1CAA1=A1,所以AB侧面ACC1A1,所以ABAC1,因为AB=AC=AA1=,所以AC1=2,所以BC1=3.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在下列四个正方体中,能得出ABCD的是()【解析】选AD.在A中,因为BECD,AECD,BEAE=E,所以CD平面ABE,
8、因为AB平面ABE,所以ABCD,故A正确;在B中,因为CDAE,ABE是等边三角形,所以AB与CD异面,且所成角为60,故B错误;在C中,CDBE,ABE=45,所以AB与CD异面,且所成角为45,故C错误;在D中,CD平面ABC,所以CDAB,故D正确.6.如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,ABC内接于圆O,且AB为圆O的直径,点M为线段PB的中点.以下结论成立的是()A.BCPCB.OM平面ABCC.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半【解析】选ABCD.因为PA圆O所在的平面,BC圆O所在的平面,所以PABC,而BCAC,PA
9、AC=A,所以BC平面PAC,而PC平面PAC,所以BCPC,故A正确;因为点M为线段PB的中点,点O为线段AB的中点,所以OMPA,所以OM平面ABC,故B正确;因为BC平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长,故C正确;三棱锥M-PAC和三棱锥P -ABC均可以平面PAC为底面,此时M到底面的距离是B到底面距离的一半,故三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,已知平行四边形ABCD中,|AD|=4,|CD|=3,D=60,PA平面ABCD,且|PA|=6,则|PC|=.【解析】由余弦定理,得AC2=AD2+C
10、D2-2ADCDcos D=16+9-243=13,所以AC=,因为PA平面ABCD,AC在平面ABCD内,所以PAAC,所以PC=7.答案:78.如图所示,在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1CB1D1.【解析】若A1CB1D1,由四棱柱ABCD -A1B1C1D1为直四棱柱,AA1B1D1,易得B1D1平面AA1C1C,则A1C1B1D1,即ACBD.答案:ACBD(答案不唯一)四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,PA正方形ABCD所在平面,经过A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AEPB.【证明】因为PA平面
11、ABCD,所以PABC.又ABCD是正方形,所以ABBC.因为ABPA=A,所以BC平面PAB.因为AE平面PAB,所以BCAE.由PC平面AEFG,得PCAE,因为PCBC=C,所以AE平面PBC.因为PB平面PBC,所以AEPB.10.如图,已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径,C为的中点,点P为圆柱上底面圆O1上一点,PA平面ABC,PA=AB,过A作AEPC,交PC于点E.(1)求证:AEPB;(2)若点C到平面PAB的距离为1,求圆柱OO1的表面积.【解析】(1)因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径,C为的中点,所以BCAC,因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC,又因为PAA
12、C=A,所以BC平面PAC,因为AE平面PAC,所以BCAE,又因为AEPC,且PCBC=C,所以AE平面PBC,因为PB平面PBC,所以AEPB.(2)因为点C到平面PAB的距离为1且C为的中点,所以PA=AB=2,所以圆柱OO1的表面积S=212+212=6.1.(2020昆明高一检测)九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如图,在鳖臑PABC中,PA平面ABC,ABBC,且AP=AC=1,过A点分别作AEPB于E、AFPC于F,连接EF.当AEF的面积最大时,tan BPC的值是()A.B.C.D.【解析】选B.显然BC平面PAB,则BCAE,又PBAE,BCPB=B,则
13、AE平面PBC,于是AEEF,且AEPC,结合条件AFPC,得PC平面AEF,所以AEF、PEF均为直角三角形,由已知得AF=,而SAEF=AEEF(AE2+EF2)=(AF)2=,当且仅当AE=EF时,取“=”,所以,当AE=EF=时,AEF的面积最大,此时tan BPC=.2.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中正确的是()A.ACBEB.B1E平面ABCDC.三棱锥E-ABC的体积为定值D.B1EBC1【解析】选ABC.对于A.因为在正方体中,ACBD,ACDD1,BDDD1=D,所以AC平面BB1D1D.因为BE平面BB1D1D,所以ACBE,所以A正确.对于B.因为B1D1平面ABCD,所以B1E平面ABCD成立,即B正确.对于C.三棱锥E -ABC的底面ABC的面积为定值,锥体的高BB1为定值,所以锥体体积为定值,即C正确.对于D.因为D1C1BC1,所以B1EBC1错误.
