1、复数的加、减运算及其几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零,虚部大于零,故位于第二象限.2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是()A.-2B.4C.3D.-4【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i.3.已知复数z1=1+2i,z2=3-4i,若z+z1=z2-z,则复数z=()A.1+3iB.1-3
2、iC.2-6iD.3+4i【解析】选B.设z=a+bi,a,bR,由复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,得a+bi+1+2i=3-4i-(a+bi),得(a+1)+(b+2)i=(3-a)+(-4-b)i,所以a+1=3-a,b+2=-4-b,得a=1,b=-3,所以z=1-3i.【一题多解】选B.因为复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,所以2z=z2-z1=3-4i-(1+2i)=2-6i,所以z=1-3i.4.在复平面内,复数1+i和1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则|=()A.B.2C.D.4【解析】选B.由复数减法运算的几何意义知,
3、对应的复数为(1+3i)-(1+i)=2i,所以|=2.5.如图,设向量,所对应的复数为z1,z2,z3,那么()A.z1-z2-z3=0B.z1+z2+z3=0C.z2-z1-z3=0D.z1+z2-z3=0【解析】选D.由题图可知,+=0,所以+-=0,所以z1+z2-z3=0.6.(多选题)下列关于复数的叙述正确的是()A.两个共轭复数的和是实数B.两个共轭复数的差是虚数C.两个共轭虚数的和是实数D.两个共轭虚数的差是虚数【解析】选ACD.设复数z=a+bi,a,bR,则共轭复数=a-bi,所以有z+=2aR,z-=2bi,当b=0时,z-是实数,当b0时,z-是虚数,A正确,B不正确.
4、设虚数z=a+bi,a,bR,且b0,则共轭虚数=a-bi,所以有z+=2aR,z-=2bi是虚数,C正确,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.计算(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=_.【解析】(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=(1-2+3)+(-3+4+5)i=2+6i.答案:2+6i8.已知|z|=,且z-2+4i为纯虚数,则z=_.【解析】设复数z=x+yi(x,yR),则z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.由题意知所以或所以z=2i.答案:2i【补偿训练】 已知向量和向量对应的复数分别为3+4i和2-i,则向量对应的复数为_.【解析】因为=-,所以对应复数
5、为(2-i)-(3+4i)=-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C.若=x+y,求x+y的值.【解析】由于复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C,所以=-1+2i,=1-i,=3-2i,因为=x+y,所以3-2i=x(-1+2i)+y(1-i),所以解得故x+y=5.10.已知z1=-3+i,z2=2+6i对应的向量分别为和,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形OZ1CZ2.求向量,对应的复数.【解析】由复数加减法的几何意义知,向量对应的复数为z1+
6、z2=(-3+i)+(2+6i)=-1+7i,向量对应的复数z2-z1=(2+6i)-(-3+i)=5+5i;向量对应的复数z1-z2=-5-5i.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是 ()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选A.|AB|=|2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,所以|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A. 2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分
7、别是A,B,C,则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是()A.5-9iB.-5-3iC.7-11iD.-7+11i【解析】选C.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则=(-3,-2),=(-4,5),=(2,1),所以平行四边形ABCD的对角线BD满足=+=(-)+(-)=(7,-11),所对应的复数是7-11i.3.(多选题)设z1,z2C,则下列关系正确的是()A.|z1+z2|z1|B.|z1-z2|z1|C.|z1+z2|z1|+|z2|D.|z1-z2|z1|+|z2|【解析】选CD.若z2=0时,|z1+z2|=|z1|,|z1-z2|=
8、|z1|,故A,B不正确.设复数z1,z2对应平面向量,当与不共线时,|+|+|,当与方向相同时,|+|=|+|,故|+|+|,即|z1+z2|z1|+|z2|,C正确.当与不共线时,|-|+|,当与方向相反时,|-|=|+|,故|-|+|,即|z1-z2|z1|+|z2|,D正确.4.复数z1=1+icos ,z2=sin -i,则|z1-z2|的最大值为()A.3-2B.-1C.3+2D.+1【解析】选D.|z1-z2|=|(1+icos )-(sin -i)|=+1.二、填空题(每小题5分,共20分)5.复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应
9、的复数为3-2i,则点C对应的复数为_.【解析】由点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应复数为3-2i,得=+=+-=(3-4i)+(3-2i)-(1+2i)=5-8i,所以点C对应的复数为5-8i.答案:5-8i6.复数z=x+yi(x,yR)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为_.【解析】由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y2=2=4,当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.答案:47.已知复平面上AOB的顶点A所对应的复
10、数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则|+|=_.【解析】复平面上AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,设AB的中点为D,则=,由向量加法的平行四边形法则,得+=2=3=3+3i,故|+|=3.答案:38.复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,则B点对应的复数为_.【解析】因为表示的复数是2+4i,表示的复数是4+i,所以=-=(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+=(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为zB=5-2i.答案:5-2i三、解答题(每小题10分,共30分)
11、9.已知复数z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,yR)设z=z1-z2=14-11i,求z1+z2.【解析】由z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,yR),z=z1-z2=14-11i,得(5x-3y)+(x+4y)i=14-11i,所以解得所以z1=(3x+y)+(y-4x)i=-7i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i=-14+4i,z1+z2=-14-3i.10.已知z1,z2C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.【解析】方法一:设z1=a+bi,z2=c+di,其中a,
12、b,c,dR,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,由|z1|2=|z2|2=1,|z1+z2|2=3,得a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3,将代入,得ac+bd=.所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1,所以|z1-z2|=1.方法二:由z1,z2C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,根据复数与向量的对应关系以及平行四边形法则可知,z1,z2,z1+z2所对应的点围成菱形ABCD,如图,在ABC中,由余弦定理,得cosABC=-,所以ABC=120,BAD=60,所以ABD是等边三角形,所以=1,即=1.11.已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.(1)求对应的复数;(2)求对应的复数;(3)求APB的面积.【解析】(1)由于四边形ABCD是平行四边形,所以=+,于是=-,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即对应的复数是-2+2i.(2)由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,即对应的复数是5.(3)由于=-=,=,于是=-,而|=,|=,所以cosAPB=-,因此cosAPB=-,故sinAPB=,故=|sinAPB=.即APB的面积为.
