1、三、用余弦定理、正弦定理解三角形第1课时三角形中的几何计算(15分钟30分)1.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的外接圆半径为3,a=3,则角A等于()A.30B.60C.60或120D.30或150【解析】选D.根据正弦定理=2R,所以sin A=,因为0A0,解得x=16,即BD=16.(2)因为ADCD,所以ADC=90,故BDC=ADC-BDA=90-60=30,在BCD中,由正弦定理=,得BC=8.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设ABC的三条边分别为a,b,c,三角形面积为S=,则C为()A.B.C.D.【解析】选C.根据面积公式得S
2、=absin C,故absin C=,解得tan C=1,由于0Cb,即A为钝角或锐角,所以cos A=.当A为锐角时,sin C=sin(A+B)=+=,所以SABC=absin C=87=10.当A为钝角时,sin C=sin(A+B)=-=,所以SABC=absin C=87=6.则此三角形的面积为6或10.【误区警示】本题在求解过程中,由sin A=确定角A大小时,易漏掉A为钝角的情况.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.三角形有一个角是60,相邻两边长分别为8和5,则下列结论正确的是()A.三角形另一边长为7B.三角形周长为20C
3、.三角形内切圆周长为3D.三角形外接圆面积为【解析】选ABD.根据余弦定理可得82+52-285cos 60=49,即另一边长为7,故该三角形周长为20,故A,B正确;设内切圆半径为r,则(8+7+5)r=85sin 60,解得r=,故内切圆周长为2r=2,C不正确;设外接圆半径为R,则2R=,解得R=,其面积为R2=.6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且abc=456,则下列结论正确的是()A.sin Asin Bsin C=456B.ABC是钝角三角形C.ABC为直角三角形D.若c=6,则ABC外接圆半径为【解析】选AD.由abc=456,可设a=4m,b=5m,c=6
4、m(m0),根据正弦定理可知sin Asin Bsin C=456,故A正确;因为cos C=0,故最大角C为锐角,故BC错误;若c=6,可得2R=,所以ABC外接圆半径为,故D正确.【光速解题】本题可直接令边长分别为4,5,6.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为.【解题指南】利用等面积转化,即S=(a+b+c)r=bcsin A,即可求出内切圆半径r,进而求出内切圆面积.【解析】不妨设三边长为a,b,c,且a=6,b=c=12,由余弦定理cos A=,所以sin A=.由(a+b+c)r=bcsin A,得r=,所以S内切圆=r
5、2=.答案:【补偿训练】在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知A=60,b=4,ABC的面积为3,则a=.【解析】因为S=bcsin A=3,所以4c=3,解得c=3,故a2=b2+c2-2bccos A=16+9-243=25-12=13,所以a=.答案:8.在ABCD中,AB=6,AD=3,BAD=60,则ABCD的对角线AC长为,其面积为.【解析】在ABCD中,连接AC,则CD=AB=6,ADC=180-BAD=180-60=120.根据余弦定理AC=3.SABCD=2SABD=ABADsinBAD=63sin 60=9.答案:39四、解答题(每小题10分,共20分)9.已
6、知ABBD,ACCD,AC=1,AB=2,BAC=120,求BD的长.【解析】如图,连接BC.BC=.在ABC中,由正弦定理知:=,所以sinACB=.又因为ACD=90,所以cosBCD=,sinBCD=,由ABBD,ACCD,BAC=120得BDC=60.由正弦定理得BD=.10.已知四边形ABCD中,AB=2,BC=CD=4,DA=6,且D=60,试求四边形ABCD的面积.【解析】连接AC,在ACD中,由AD=6,CD=4,D=60,可得AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D=62+42-264cos 60=28.在ABC中,由AB=2,BC=4,AC2=28,可得cos B=-,
7、又0B180,所以B=120.所以四边形ABCD的面积为S=SACD+SABC=ADCDsin D+ABBCsin B=46sin 60+24sin 120=8.1.在ABC中,若lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则该三角形的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.因为lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,所以=2,由正弦定理可得=,所以=,所以cos B=,所以cos B=,整理得c2=b2,即c=b,故ABC为等腰三角形.2.如图所示,在平面四边形ABCD中,ADC=90,BAD=45,AB=2,BD=2.(1)求ADB的大小;(2)若DC=2,求四边形ABCD的面积.【解析】(1)在ABD中,由正弦定理得:=,所以sinADB=.因为A=45,所以0ADB135,所以ADB=30.(2)在ABD中,ABD=180-30-45=105,sin 105=,所以SABD=BABDsinABD=22=+1;在BCD中,SBCD=DCBDsinBDC=22=2.所以S四边形ABCD=SABD+SBCD=3+1.
