1、4平面向量基本定理及坐标表示4.1平面向量基本定理课堂检测素养达标1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,下列向量组:与;与;与;与,其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是()A.B.C.D.【解析】选B.由基的定义知,中两向量不共线,可以作为基.2.如图所示,在矩形ABCD中,=5e1,=3e2,则等于()A.(5e1+3e2)B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1)D.(5e2-3e1)【解析】选A.=(-)=(5e1+3e2).3.如图,将45直角三角板和30直角三角板拼在一起,其中45直角三角板的斜边与30直角三角板的30角所对的直角边重合,若=x+y,则x=_
2、 ,y =_.【解析】过点B作BEDC交DC的延长线于点E,过点A作AFBE于点F,由ACD=45,BCA=90,得BCE=45,则CE=BE.设CE=BE=mCD(m0),则AF=ED=(m+1)CD,BF=BE-EF=(m-1)CD,AB=2AC=2CD.由AF2+BF2=AB2可得+=,解得m=,故=(1+)+.答案: 1+4.如图,已知ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若=a,=b,用a,b表示,.【解析】=+=+=a+(b-a)=a+b;=+=+=a+(b-a)=a+b;=+=+=a+(b-a)=a+b.十八平面向量基本定理 (15分钟30分)1.已知e1,e2是表示
3、平面内所有向量的一组基,则下列四个向量中,不能作为一组基的是()A.e1+e2和e1-e2B.3e1-2e2和4e2-6e1C.e1+2e2和e2+2e1D.e2和e1+e2【解析】选B.因为4e2-6e1=-2(3e1-2e2),所以3e1-2e2与4e2-6e1共线,所以它们不能作为一组基,作为基的两向量一定不共线.2.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.长方形B.平行四边形C.菱形D.梯形【解析】选D.=+=-8a-2b=2 ,故为梯形.3.设D,E,F分别是ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则+与()A.反
4、向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【解析】选A.如图,因为=+=+,=+=+,=+=+,所以+=+=+=-.4.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=_a+_b.【解析】由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得所以答案:-5.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)已知c=3e1+4e2,以a,b为
5、基,表示向量c;(2)若4e1-3e2=a+b,求,的值.【解析】(1)设c=a+b,则3e1+4e2=(e1-2e2)+(e1+3e2)=(+)e1+(3-2)e2,所以解得所以c=a+2b.(2)4e1-3e2=a+b=(e1-2e2)+(e1+3e2)=(+)e1+(3-2)e2,所以解得=3,=1. (20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数y的值为()A.3B.4C.-D.-【解析】选B.因为3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,所以(3x-4
6、y+7)e1+(10-y-2x)e2=0,又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基,所以解得2.如图所示,若D点在三角形ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为()A.B.C.D.【解析】选C.因为=4=r+s,所以=(-)=r+s,所以r=,s=-,所以3r+s=-=.3.如图,O是ABC的重心,=a,=b,D是边BC上一点,且=3,则()A.=-a+bB.=a-bC.=-a-bD.=a+b【解析】选A.如图,延长AO交BC于点E,由已知O为ABC的重心,则点E为BC的中点,且=2,=(+).由=3,得:D是BC的四等分点,则=+=+=(+)+(-)=-a+b.二、多选题(共5
7、分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知e10,R,a=e1+e2,b=2e1,则a与b共线的条件可以为()A.=0B.e2=0C.e1e2 D.e1e2【解析】选AC.若e1e2时,因为e10,所以e2=t e1(tR),所以a=e1+e2=(1+t)e1=b,所以a与b共线.若e1与e2不共线,要使a与b共线,则a=tb(tR),即e1+e2=2te1,即(1-2t)e1+e2=0,所以=0.三、填空题(每小题5分,共10分)5.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=e1+e2,且a与b是一组基,则实数的取值范围是_.【解析】当ab时,设a=m b,则有e1+
8、2e2=m(e1+e2),即e1+2e2=me1+m e2,所以解得=,即当=时,ab.又a与b是一组基,所以a与b不共线,所以.答案:6.(2020江苏高考)在ABC中,AB=4,AC=3,BAC=90,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+(m为常数),则CD的长度是_.【解析】作AEBC,交BC于点E.设=m+,因为C,D,B三点共线,所以m+=1,解得=,所以AD=3=AC,所以CD=2ACcos C=.答案:四、解答题7.(10分)如图,ABC中,点D是AC的中点,点E是BD的中点,设=a,=c.(1)用a,c表示向量;(2)若点F在AC上,且=a+c,求AFCF.【解析】(1)因为=-=c-a,所以=(c-a),所以=(+)=+=-a+(c-a)=c-a.(2)设=,所以=+=+=a+(c-a)=(1-)a+c.又=a+c,所以=,所以=,所以AFCF=41.
