1、函数的奇偶性与周期性考试要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性 偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件(2)若f(x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：f(x)为奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)01.f(x)为偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)01.
2、2函数的周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数f(x)的周期1函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上
3、具有相反的单调性(4)若yf(xa)是奇函数，则f(xa)f(xa)；若yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa)2周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)；(2)若f(xa)，则T2a(a0)；(3)若f(xa)，则T2a(a0)3函数的图象的对称性(1)函数yf(x)，若其图象关于直线xa对称(a0时，f(x)为偶函数)，则f(ax)f(ax)；f(2ax)f(x)；f(2ax)f(x)(2)函数yf(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a0时，f(x)为奇函数)，则f(ax)f(ax)；f(2ax)f(x)；
4、f(2ax)f(x)(3)函数yf(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则f(ax)f(ax)2b；f(2ax)f(x)2b；f(2ax)f(x)2b.(4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线xa对称，则g(x)f(2ax)(5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线ya对称，则g(x)2af(x)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a
5、0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1下列函数中为偶函数的是()Ayx3Byx2Cy|ln x|Dy2xBA为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.2已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.2f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f _.1f f 4221.4设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_(2,0)(2,5由图象可知，当0x2时，f(x)0；当2x5时，f(
6、x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5 考点一函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇典例1(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)；f(x)(1)C令F1(x)f(x)g(x)，则F1(x)f(
7、x)g(x)f(x)g(x)F1(x)，f(x)g(x)为奇函数，故A错误令F2(x)|f(x)|g(x)，则F2(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F2(x)，F2(x)为偶函数，故B错误令F3(x)f(x)|g(x)|，则F3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F3(x)，F3(x)为奇函数，故C正确令F4(x)|f(x)g(x)|，则F4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|F4(x)，F4(x)为偶函数，故D错误(2)解由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数由得定义
8、域为(1,0)(0,1)，关于原点对称，x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数点评：(1)本例T(2)第小题求出定义域后，利用定义域去掉绝对值号是解题的关键(2)yln，ylg(x)都是奇函数1下列函数既是奇函数又是增函数的是()Ayx21ByCyDyx|x|D对于A，f(x)(x)21x21f(x)，函数f(x)是偶函数，不是
9、奇函数，排除A.对于B，函数的定义域为(，1)(1，)，函数为非奇非偶函数，排除B.对于C，函数是奇函数，但在定义域(，0)(0，)上不是增函数，排除C.对于D，f(x)x|x|x|x|f(x)，函数为奇函数，又yx|x|，则函数为增函数，故选D.2设函数f(x)，则下列结论错误的是()A|f(x)|是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)|f(x)|是奇函数Df(|x|)f(x)是偶函数Df(x)，则f(x)f(x)f(x)是奇函数f(|x|)f(|x|)，f(|x|)是偶函数，f(|x|)f(x)是奇函数 考点二函数奇偶性的应用 已知函数奇偶性可以解决的三个问题利用函数的奇偶性求值典例21(1
10、)(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(ln 2)8，则a_.(2)(2018全国卷)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.(1)3(2)2(1)法一：由x0可得x0，由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，x0时，f(x)f(x)ea(x)eax，则f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3.法二：由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，f(ln 2)f (ealn )8，aln ln 83ln 2，a3.(2)f(a)f(a)ln(a)1ln(a)1ln(1a2a2)22.f(a)2f(a)242.点评：本例T(2
11、)中含有奇函数的解析式，解答此类题目时可先求f(x)f(x)的值，再求所求求函数解析式典例22(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1Dex1D当x0，当x0时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.故选D.点评：先设x为待求区间上的任意量，然后将x转化到已知区间上，从而求出f(x)，然后利用奇偶性求f(x)利用奇偶性求参数的值典例23若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.1法一：(定义法)因为函数f(x)在定义域上为奇函数，所以f(x)f(x)，即，化简得(k21)(22x
12、1)0，即k210，解得k1，经检验k1时，函数f(x)为奇函数法二：(特值法)因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，即，即.整理得k21，解得k1.经检验，当k1时，函数f(x)为奇函数点评：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(x)f(x)(奇函数)或f(x)f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)0求解，偶函数一般利用f(1)f(1)求解用两种方法求得参数后，一定要注意验证1函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(log2 )等于()AB9 C8DC由f(0)40t0得t1.则f(log2 )f(log2 3)f(log2
13、 3)(4log2 31)2log2 918.故选C.2已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)_.0设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.3函数f(x)log2为奇函数，则实数a_.1函数f(x)log2为奇函数，f(x)f(x)0.即log2log20，即log20.1，则1a2x21x2，a21，即a1.当a1时，f(x)log2，则f(x)的定义域为x|x0且x1，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当a1时，f(x)log2，定义域为x|1x1且x0，满足题
14、意，a1. 考点三函数的周期性、图象的对称性及应用 1.函数周期性的判断与应用2函数图象的对称性的判断与应用典例3(1)(2020南昌模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(4x)f(x)，当0x2时，f(x)2x2x，则f(5)()A3B3 C7D7(2)(多选)(2020福建毕业班质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称以下关于f(x)的结论正确的是()Af(x)是周期函数Bf(x)满足f(x)f(4x)Cf(x)在(0,2)上单调递减Df(x)cos是满足条件的一个函数(1)D(2)ABD(1)法一：(利用对称性)：由f(4x)f(x)得函数f(x
15、)的图象关于直线x2对称，则f(5)f(1)，又函数f(x)是奇函数，则f(5)f(1)f(1)(2121)7，故选D.法二：(利用等式转化)：由f(4x)f(x)得f(5)f4(1)f(1)f(1)(231)7.故选D.(2)因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，又f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(x)f(2x)，故f(x2)f(x)，故f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确f(x)f(x)f(x4)，以x代换x可得f(x)f(4x)，故B正确f(x)cos是定义在R上的偶函数，点(1,0)是f(x)图象的一个对称中心，故D正确不妨令f(x)
16、cos，此时f(x)满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故C错误点评：当自变量较小时，可直接利用对称性或等式转化自变量，无需求出周期1已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 021)f(2 019)的值为()A0B4 C2D2A当x0时，f(x2)，所以f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一个周期所以f(2 021)f(2 021)f(1)log2 21，f(2 019)f(3)1，所以f(2 021)f(2 019)0.故选A.2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则f(1)f(2)f(3)f(2 021)()A2 021B0 C1D1C由f(x2)f(x)得f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是奇函数所以f(1)1，f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)1，f(4)f(0)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，所以f(1)f(2)f(3)f(2 021)505f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)1，故选C.
