1、2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用(15分钟30分)1.若tan=3,则tan 的值为()A.-2B.-C.D.2【解析】选B.tan =tan=-.2.若sin(-)cos -cos(-)sin =m,且为第三象限角,则cos 的值为()A.B.-C.D.-【解析】选B.由条件得,sin(-)-=sin(-)=-sin =m,所以sin =-m.又因为为第三象限角,所以cos =-=-.3.在ABC中,cos Acos Bsin Asin B,则ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定【解析】选C.因为cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B
2、)0,-cos C0,所以cos C0,故C为钝角,ABC为钝角三角形.4.在ABC中,C=120,tan A+tan B=,则tan Atan B=()A.B.C.D.【解析】选B.因为C=120,则A+B=60,又tan(A+B)=,故=,所以tan Atan B=.5.已知tan=,tan=2.求:(1)tan;(2)tan(+).【解析】(1)tan=tan=-.(2)tan(+)=tan=2-3. (20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若tan 28tan 32=m,则tan 28+tan 32=()A.mB.(1-m)C.(m-1)D.(m+1)【解析】选B.ta
3、n(28+32)=tan 60=,所以tan 28+tan 32=(1-m).【补偿训练】的值为()A.-1B.1C.-D.【解析】选B.原式=tan(105-60)=tan 45=1.2.已知cos+sin =,则sin的值为()A.-B.C.-D.【解析】选C.因为cos+sin =,所以cos cos +sin sin +sin =,所以cos +sin =,即cos +sin =,所以sin=,所以sin=-sin=-.3.如果=,那么等于()A.B.C.D.【解析】选A.=,所以nsin cos +ncos sin =msin cos -mcos sin ,所以(m-n)sin co
4、s =(m+n)cos sin ,所以=,即=.4.在ABC中,若0tan Btan C0,tan C0,所以tan(B+C)=0.所以B+C为锐角,从而A为钝角,从而ABC是钝角三角形.方法二:因为0tan Btan C1,所以B,C均为锐角,所以0,所以cos A0,所以A为钝角.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知cos =-,且,则tan等于_.【解析】因为cos =-,且,所以sin =.所以tan =-,所以tan=7.答案:7【补偿训练】已知tan=,tan=-,则tan =_.【解析】tan =tan=.答案:6.若(tan -1)(tan -1)=2,则tan(+)=_
5、,+=_.【解析】(tan -1)(tan -1)=2tan tan -tan -tan +1=2tan +tan =tan tan -1=-1,即tan(+)=-1,所以+=k-(kZ)答案:-1k-(kZ)三、解答题7.(10分)求下列各式的值;(1)sin 119sin 181-sin 91sin 29.(2);(3)tan 78-tan 33-tan 78tan 33.【解析】(1)原式=sin(29+90)sin(1+180)-sin(1+90)sin 29=cos 29(-sin 1)-cos 1sin 29=-(sin 29cos 1+cos 29sin 1)=-sin(29+1
6、)=-sin 30=-.(2)原式=tan(75-15)=tan 60=.(3)tan 45=1=,所以tan 78-tan 33=1+tan 78tan 33,所以tan 78-tan 33-tan 78tan 33=1.【补偿训练】1.tan(18-x)tan(12+x)+tan(18-x)+tan(12+x).【解题指南】对本题进行观察,发现它有两个特征:一个特征是该三角函数式的前半段是两个角正切函数的积,而后半段是这两个角正切函数的和的倍数;另一个特征是这两个角的和(18-x)+(12+x)=30,而30是特殊角,根据这两个特征,很容易联想到正切的和角公式.【解析】因为tan (18-
7、x)+(12+x)=tan 30=,所以tan(18-x)+tan(12+x)=1-tan(18-x)tan(12+x).所以原式=tan(18-x)tan(12+x)+1-tan(18-x)tan(12+x)=1.2.是否存在锐角,使得(1)+2=,(2)tan tan =2-同时成立?若存在,求出锐角,的值;若不存在,说明理由.【解析】假设存在锐角,使得(1)+2=,(2)tan tan =2-同时成立.由(1)得+=,所以tan=.又tan tan =2-,所以tan +tan =3-,因此tan ,tan 可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根.解得x1=1,x2=2-.若tan =1,则=,这与为锐角矛盾.所以tan =2-,tan =1,所以=,=.所以满足条件的,存在,且=,=.
