1、2006年高考数学模拟试题（总分：150分，考试时间：120分钟）第卷(选择题 , 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 直线x + 3y7= 0和kxy2 = 0与x轴、y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆 , 则k为()（A） 3 ( B ) 6 ( C ) 6 ( D ) 3（2）已知tan(-) = ，tan(-) = ，则tan（-）等于 ( )（A） （B）- （C） （D）-（3）设、是不共线的单位向量，若 = 5+3， = 3-5 , 则是的 ( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）
2、充要条件 （D）既非充分又非必要条件（4）已知平面与平面相交，直线m , 则 ( )（A）内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直（B）内不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直（C）内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直（D）内必存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直（5）设函数f(x) = 3ax+1-2a ，在区间（-1，1）上存在，使f(x0) = 0 ，则实数a的取值范围是 ( )（A）-1a （B）a （C）a或a-1 （D）a-1（6）复数Z满足，则 的取值范围是 ( )（A） （B） （C） （D）（7） 椭圆 （a b 0） 有内接正n边形 ，则n的可能值
3、是 ( ) （A） 4 （B） 3，4 （C） 3，4，5 （D） 3，4，6（8）设一个正多面体的面数为F，顶点数为V，若F + V = 8，且它的各条棱长都等于4，则这一多面体的外接球的球面面积是 （ ） （A）12 （B）24 （C）16 （D）28（9）数列an中，a1 = 1 , 且an+1 = an + +，则a99等于 ( )（A）2004 （B）2005 （C）2400 （D）2500（10）曲线C与函数 y = 2x-3 的图象关于直线 l : y = x 对称 ，则曲线 C 与 l 的一个交点的横坐标属于区间 ( ) （A）（-2，-1） （B）（2，3） （C）（1，2）
4、 （D）（-1，0）（11）用四种不同颜色给一正方体的六个表面涂色，相邻两面涂不同颜色，则共有涂色方法有 ( )（A）24种 （B）72种 （C）96种 （D）48种（12）在曲线y = x3 + x 2的切线中，与直线4x y = 1平行的切线方程是 （ ）（A）4x y = 0 （B）4x y 4 = 0（C）2x y 2 = 0 （D）4x y 4 = 0 或 4x y = 0第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上（13）设集合A=5，log2(a+3),集合B=a，b，若AB=2，则AB = _（14）若不等式1的解集为x|
5、x1或x2，则实数a的值为_（15）曲线在点(1,3)处的切线方程是 （16） 双曲线的两个焦点为 , P是此双曲线上一点，若PF1PF2 , 则点P到x轴的距离为_.三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分） 是否存在常数，使得不等式对任意正数恒成立 , 试证明你的结论。（18）（本小题满分12分） 在中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c分别为其对边，外接圆半径为，已知；（）求角C ;（）求面积S的最大值 . （19）（本小题满分12分） 已知正项数列an和bn中，a1 = a ,(0a1,b1=1-a,当n2且n时，an =
6、 an-1bn , bn =,（）证明：对任意n，都有an + bn = 1（）求数列 an 的通项公式（）设Cn = abn+1 , Sn为数列 Cn 的前n项和，求Sn 的值（20）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD中，面ABCD为正方形，PA面ABCD，且PA = AB = a ,点M是PC的中点,（）求异面直线BP与MD所成角的大小；（）求二面角M-DA-C的大小. （21）（本小题满分12分） 已知直线l：与椭圆C：，且b为整数）交于M、N两点，B为椭圆C短轴的上端点，若MBN的重心恰为椭圆焦点F （）求椭圆C的方程； （）设椭圆C的左焦点为F，问在椭圆C上是否存在一点
7、P，使得FPF = 60 ,证明你的结论（）是否存在斜率不为零的直线l，使椭圆C与直线l相交于不同的两点R、S，且 |BR| = |BS|，如果存在，求直线l在y轴上截距的取值范围；如果不存在，请说明理由（22）(本小题满分14分)设x1、x2是函数f(x) = x3+x2-a2x (a0) 的两个极值点，且|x1|+|x2| = 2（）证明：0a1 ;（）证明： ;（）若函数h(x) = f(x)-2a(x-x1),证明：当x1x2且x10时，|h(x)|4a .参考答案1、D 2、B 3、C 4、C 5、C 6、B 7、B 8、B 9、D 10、B 11、C 12、D13、1，2，5 14
8、、 15、4x - y 1 = 0 16、 .17 证明：当时，可由已知不等式得出 4分下面分两方面给出证明 先证 ，因为x、y为正数 ，所以这是显然成立的 8分 再证 因为x、y为正数，所以这是显然成立的 综上可知，存在常数使对任何正数 题中的不等式恒成立 12分18 解：（）因为外接圆半径为，由已知等式和正弦定理得：，可化为，结合余弦定理得：，所以，又，因此 . 6分（）由得，所以= .因此当时， . 12分19 解：（）用数学归纳法证明当n =1时，a1 + b1 = a + (1-a) = 1 , 命题成立；假设当n = k (k)时命题成立，即ak + bk = 1 , 则当n =
9、k+1时，ak+1+bk+1 = akbk+1+bk+1 = bk+1(1+ak) = = = = 1 当n = k+1时，命题也成立;综合知an+bn=1对n恒成立 4分（） an+1 = anbn+1 = an = =, = =+1 即 -= 1 （*） 数列是公差为1的等差数列，其首项是= = + (n-1)1,从而an = 8分（） Cn = = an (an bn+1 ) = anan+1 , ( *) 式变形为anan+1 = an - an+1 , Cn = an - an+1 Sn = C1 + C 2 + + Cn = ( a1 - a2 ) + ( a2 - a3 ) +
10、+ ( an - an+1 ) = a1 - an+1 = a - , Sn =(a-) = a 12分20解法一：以AB为x轴 ，AD为y轴 ，AP为z轴，建立空间直角坐标系 ，由已知得：A（0，0，0）, B（a , 0 , 0）, C( a , a , 0 ) , D( 0 , a , 0 ) , P( 0 , 0 , a ) ,则PC的中点M的坐标为（， , ）,于是有： 4分（）设直线PB与DM所成的角为 , =（-a , 0 , a）, = ( , - , )= 0 ，直线PB与DM所成的角为90 , 8分（） =（0，0，a）= (a , 0 , 0) , = (0 , a ,
11、0) ,= 0 ，= 0 , BP与AP的夹角为所求的二面角 , 10分设BP与AP的夹角为,则cos = = ,故二面角M-DA-C的大小为45o . 12分解法二：（）取BC的中点N，连接MN、ND，则NMD就是异面直线BP与MD所成的角（或其补角）,由PA面ABCD且PA = AB = a , PB = PD = AC = -a , PC =a , 又M是PC的中点 ， MN =a , MD = a , ND = = a , 因此 NM2 + MD2 = ND2 , MND = 90 .即异面直线BP与MD所成的角为90 6分（）取AC的中点O ，连接MO，则OMAPAP面ABCD ，
12、OM面ABCD过O作ORAD交AD于R，连MR，则MRO就是二面角M-DA-C的平面角，OM =AP = a , OR = CD = a,MRO = 45,即二面角M-DA-C的大小为45 12分21解：（）设M、N两点的坐标分别为、，依题意有，由于M、N为直线与椭圆的交点，即18c5b 56 又 由、求得：，椭圆C的方程为 4分（） 由（1）知F与F的坐标分别为（2,0） 、（2,0） ，设P是椭圆C上任意一点，且，若，利用余弦定理及椭圆的定义可得m、n为方程的两实根,而此方程无实根 , 所以满足条件的P点不存在 8分 （）假设满足条件的直线l存在，设直线l的方程为，把代入椭圆方程并整理得：
13、，则0， 设为RS的中点，则 ，又，即，由、得，又，矛盾，故满足条件的直线l不存在. 12分22 解：（） f(x) = ax2- bx - a2 , x1 , x2 是f(x)的两个极值点，x1、x2是方程f(x) = 0的两个实数根 a0,x1x2 = -a0 ， x1 + x2 = - ， | x1 | + | x2 | = | x1-x2 | = ，| x1 | + | x2 | = 2 , + 4a = 4 , 即b2 = 4a2-4a3 ，由b20 得 4a2-4a30 , 0a1 4分（）令 g(a) = 4a2-4a3 , 则g(a) = 8a-12a2 = 4a ( 2-3a
14、 )由g(a)0 0a , g(a)0a1故g(a)在区间（0，）上是增函数，在区间（，1）上是减函数，g(a)= g() = ， | b | 8分（）x1、x2是方程f(x) = 0的两根， f(x) = a(x-x1)(x-x2) ， h(x) = a(x-x1)(x-x2)-2a(x-x1)= a ( x-x1 )( x-x2-2 )，| h(x) | = a | x-x1| | x-x2-2 |a()2xx1 , | x-x1 | = x-x1 ,又 x10 , x1x20 , x20 ， x2 + 22 , x2 , 故x-x2 -20 ，| x-x1 | + | x-x2-2 | = x-x1 + x2 + 2-x = x2 - x1 + 2 = | x1 | + | x2 | + 2 = 4 ，| h(x) |4a . 14分
