1、单元素养评价(一)(第六章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.(+)+(+)+化简后等于()A.B.C.D.【解析】选C.原式=+=.2.以a=(-1,2),b=(1,-1)为基底表示c=(3,-2)为()A.c=4a+bB.c=a+4bC.c=4bD.c=a-4b【解析】选B.令c=xa+yb,得所以即c=a+4b.3.向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),若3a-b与c共线,则x=()A.1B.-3C.-2D.-1【解析】选D.向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),则3a-b=(1,-1),又3a-b与c共线,则11-(-1)x=0,解
2、得x=-1.4.点C在线段AB上,且|=|,若=,则=()A.B.-C.D.-【解析】选D.点C在线段AB上,且|=|.如图所示:若=,即=-,所以=-.5.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若B=45,C=60,c=1,则最短边长为()A.B.C.D.【解析】选B.A=180-(60+45)=75,故最短边为b,由正弦定理可得=,即b=.6.向量=(4,-3),向量=(2,-4),则ABC的形状为()A.等腰非直角三角形B.等边三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为=(4,-3),=(2,-4),所以=-=(-2,-1),所以=(2,1)(-2,4)=0
3、,所以C=90,且|=,|=2,|.所以ABC是直角非等腰三角形.7.(2020新高考全国卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1x3,所以-20,则ABC为锐角三角形B.若ab=0.则ABC为钝角三角形C.若ab=cb,则ABC为等腰三角形D.若(a+c-b)(a+b-c)=0,则ABC为直角三角形【解析】选CD.如
4、图所示,在ABC中,=c,=a,=b,A.若ab0,则BCA的补角为锐角,BCA是钝角,ABC是钝角三角形,A错误;B.若ab=0,则,ABC为直角三角形,B错误;C.若ab=cb,b(a-c)=0,(-)=0,(+)=0,取AC中点D,则=0,所以BA=BC,即ABC为等腰三角形,C正确;D.若(a+c-b)(a+b-c)=0,则a2=(c-b)2,即b2+c2-a2=2bc,即=-cos A,由余弦定理可得:cos A=-cos A,即cos A=0,即A=,即ABC为直角三角形,D正确.12.已知ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,以下四
5、个说法中正确的有()A.满足条件的ABC不可能是直角三角形B.当A=2C时,ABC的周长为15C.当A=2C时,若O为ABC的内心,则AOB的面积为D.ABC的面积的最大值为40【解析】选BCD.a=6,4sin B=5sin C即4b=5c,设b=5t,c=4t(t0),由36+16t2=25t2,可得t=2(负值舍去),满足条件的ABC可能是直角三角形,故A错误;a=6,4sin B=5sin C,A=2C,可得:B=-3C,由正弦定理可得4b=5c,可得b=,由=,sin C0,可得:4cos2C-1=,解得:cos C=,sin C=,可得sin A=2sin Ccos C=,可得:c
6、=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;SABC=bcsin A=.设ABC的内切圆半径为R,则R=,SABO=cR=,故C正确.以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得B(-3,0),C(3,0),4sin B=5sin C,可得4b=5c,设A(m,n)(n0),可得4=5,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),即有m2+n2+m+9=0,化为+n2=(n0),则A的轨迹为以为圆心,为半径的除去x轴上两点的圆,可得ABC的面积的最大值为6=40,故D正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知向量a=(1,m),b=(3,1),若ab,则m=
7、.【解析】因为ab,所以ab=3+m=0,所以m=-3.答案:-314.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=.【解析】因为2asin B=b,所以2sin Asin B=sin B.所以sin A=,因为ABC为锐角三角形,所以cos A=,因为bc=6,b+c=5,所以b=2,c=3或b=3,c=2.所以a2=b2+c2-2bccos A=22+32-26=7,所以a=(负值舍).答案:15.在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若=2,则的模为.【解析】因为在平行四边形ABCD中,=+=-,
8、又=,=,所以=-,所以=-=|cos 60-|2=|-1=2,所以|=12.答案:1216.(2019浙江高考)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若BDC=45,则BD=,cosABD=.【解析】在ABD中,由正弦定理有:=,而AB=4,ADB=,AC=5,sinBAC=,cosBAC=,所以BD=.cosABD=cos(BDC-BAC)=coscosBAC+sinsinBAC=.答案:四、解答题(共70分)17.(10分)已知两向量a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,
9、求m的值.【解析】(1)ka-b=(k,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+(4,2)=(5,2).当ka-b与a+2b共线时,2(k-2)-(-1)5=0,解得k=-.(2)由已知可得=2a+3b=(2,0)+(6,3)=(8,3),=a+mb=(1,0)+(2m,m)=(2m+1,m).因为A,B,C三点共线,所以,所以8m-3(2m+1)=0.解得m=.18.(12分)如图所示,梯形ABCD中,ABCD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示,.【解析】如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.则=a,=-=-=b-a,=
10、-=-=-=a-b.19.(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos C=.(1)若=,求ABC的面积;(2)设向量x=,y=,且xy,求sin(B-A)的值.【解析】(1)由=,得abcos C=.又因为cos C=,所以ab=.又C为ABC的内角,所以sin C=.所以ABC的面积S=absin C=3.(2)因为xy,所以2sin cos =cos B,即sin B=cos B,因为cos B0,所以tan B=.因为B为三角形的内角,所以B=.所以A+C=,所以A=-C.所以sin(B-A)=sin=sin=sin C-cos C=-=.20.(12分)如图,
11、在OAB中,P为线段AB上一点,且=x+y.(1)若=,求x,y的值;(2)若=3,|=4,|=2,且与的夹角为60,求的值.【解析】(1)若=,则=+,故x=y=.(2)若=3,则=+=+(-)=+,=(-)=-|2-+|2=-42-42cos 60+22=-3.21.(12分)如图,A,B 两个小岛相距21海里,B 岛在 A 岛的正南方,现甲船从 A 岛出发,以9海里/时的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60方向行驶,行驶多少时间后,两船相距最近?求出两船的最近距离.【解析】设行驶th后,甲船行驶了9t海里到达C处,乙船行驶了6t海里到达D处.当9t21
12、,即t3.当t时,BC=9t-21,则CD2=(9t-21)2+(6t)2-2(9t-21)6tcos 60=63t 2-252t+441=63(t-2)2+189189.综上可知,当t=2时,CD取最小值3.答:行驶2 h后,甲、乙两船相距最近为3海里.22.(12分)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),且a,b满足关系|ka+b|=|a-kb|(k0).(1)求a与b的数量积关于k的解析式f(k);(2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能,则说明理由;若能,则求出相应的k值;(3)求a与b夹角的最大值.【解析】(1)由已知|a|=|b|=1.因为|ka+b|=|a-kb|,所以(ka+b)2=3(a-kb)2,所以k2|a|2+2kab+|b|2=3(|a|2-2kab+k2|b|2),所以8kab=2k2+2,所以f(k)=ab=(k0).(2)因为ab=f(k)0,所以a与b不可能垂直.若ab,由ab0知a,b同向,于是有ab=|a|b|cos 0=|a|b|=1,即=1,解得k=2.所以当k=2时,ab.(3)设a与b的夹角为,则cos =ab=(k0),所以cos =,所以当=,即k=1时,cos 取到最小值为.又0180,所以a与b夹角的最大值为60.
