1、江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列满足，则= 答案：2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列an中，=16，则= .答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列中, 若, 则其前9项和的值为 答案：274、（南通市2013届高三期末）若Sn为等差数列an的前n项和，S9=36，S13=104，则a5与a7的等比中项为 答案：5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .答案：26、（扬州市2013届高三期末）数列满足，且 =2，则的最小值为 答案：7、（镇江市20
2、13届高三期末）在等比数列中，为其前项和，已知，则此数列的公比为 答案：3; 8、（镇江市2013届高三期末） 观察下列等式： 1， 1， 1，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*， 答案：二、解答题1、（常州市2013届高三期末） 已知数列是等差数列，数列是等比数列， （1）若求数列和的通项公式；（2）若是正整数且成等比数列，求的最大值答案：解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所以，从而，所以 3分（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，.因为成等比数列，所以设，则，整理得，.解得（舍去负根）.，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，当且仅当且时，及取最大值.从而最
3、大的， 所以，最大的 16分2、（连云港市2013届高三期末）已知数列an中，a2a(a为非零常数)，其前n项和Sn满足：Sn(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)若a2，且，求m、n的值；(3)是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列an中满足的最大项恰为第3p2项?若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由(1)证明:由已知，得a1=S1=0，Sn=， 2分则有Sn+1=，2(Sn+1Sn)=(n+1)an+1nan，即(n1)an+1=nan nN*，nan+2=(n+1)an+1，两式相减得，2an+1=an+2+an nN*， 4分即an+1an+1=an+1
4、an nN*，故数列an是等差数列.又a1=0，a2=a，an=(n1)a. 6分(2)若a=2，则an=2(n1)，Sn=n(n-1).由，得n2-n+11=(m-1)2，即4(m-1)2(2n-1)2=43，(2m+2n-3)(2m2n-1)=43. 8分43是质数， 2m+2n-32m2n-1， 2m+2n-30，解得m=12，n=11. 10分(III)由an+bp，得a(n1)+bp.若a0，则n+1. 不等式an+bp成立的最大正整数解为3p2，3p2+13p1， 13分即2ab(3a1)p3ab，对任意正整数p都成立.3a1=0，解得a=， 15分此时，b01b，解得b1.故存在
5、实数a、b满足条件， a与b的取值范围是a=，b1. 16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列是首项为, 公差为6的等差数列；数列的前项和为.(1)求数列和的通项公式；(2)若数列是等比数列, 试证明: 对于任意的, 均存在正整数, 使得, 并求数列的前项和；(3)设数列满足, 且中不存在这样的项, 使得“与”同时成立（其中, ）, 试求实数的取值范围答案：解: (1)因为是等差数列,所以2分而数列的前项和为,所以当时, ,又,所以 4分(2)证明:因为是等比数列,所以,即,所以 5分对任意的,由于,令,则,所以命题成立 7分数列的前项和 9分(3)易得,由于当时, ,所以若,即,
6、则,所以当时,是递增数列,故由题意得,即,解得,13分若,即,则当时,是递增数列,故由题意得,即,解得14分若,即,则当时,是递减数列, 当时,是递增数列,则由题意,得,即,解得15分综上所述,的取值范围是或16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1；（2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由解：(1)令n=1，则a1=S1=0 3分(2)由，即， 得 ，得 于是， +，得，即 7分又a1=0，a2
7、=1，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 9分(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 11分所以，()易知(p，q)=(2，3)为方程()的一组解 13分当p3，且pN*时，0，故数列(p3)为递减数列，于是0，所以此时方程()无正整数解综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列 16分注 在得到式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分但在做除法过程中未对n2的情形予以说明的，扣1分5、（徐州、淮安、宿迁市20
8、13届高三期末）已知且令且对任意正整数，当时，当时，（1） 求数列的通项公式；（2） 若对任意的正整数，恒成立，问是否存在使得为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由；（3） 若对任意的正整数且求数列的通项公式.当时， 且，所以，2分又当时，且，4分因此，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，5分因为，所以，所以，8分假设存在，使得能构成等比数列，则，故，化简得，与题中矛盾，故不存在，使得为等比数列 10分因为且，所以所以所以，12分由知，所以，13分，14分所以，16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列的前项和为，满足（）（1）若，求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
9、（2）已知数列是等差数列，求的值7、（泰州市2013届高三期末）已知数列,其中(1)求满足=的所有正整数n的集合（2）n16,求数列的最大值和最小值（3）记数列的前n项和为，求所有满足（mn）的有序整数对(m,n) (1)an+1=bn，n15=n15，当n15时,an+1=bn恒成立，当n16时，n取偶数=1+当n=18时（）max=无最小值n取奇数时=-1-n=17时（）min=-2无最大值 8分(ii)当n15时，bn=(-1)n(n-15)，a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) 0，其中a15b15+a16b16=0S16=S14 m=7， n=8.16分8、（无锡市
10、2013届高三期末）已知数列an中，a1=2，nN+，an0，数列an的前n项和Sn，且满足。（）求Sn的通项公式；（）设bk是Sn）中的按从小到大顺序组成的整数数列。（1）求b3；（2）存在N（NN+），当nN时，使得在Sn中，数列bk有且只有20项，求N的范围9、（扬州市2013届高三期末）已知数列的前项和为（）若数列是等比数列，满足， 是，的等差中项，求数列的通项公式；（）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由解：（）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有即3分由 得 ，解得或.当时，不合题意舍；当时，代入(2)得，所以， . 7分（）
11、假设存在满足条件的数列，设此数列的公差为，则方法1： ，得对恒成立，则 10分解得或此时，或故存在等差数列，使对任意都有其中，或 15分方法2：令，得，令，得， 9分当时，得或，若，则，对任意都有；若，则，不满足12分当时，得或，若，则，对任意都有；若，则，不满足综上所述，存在等差数列，使对任意都有其中，或 15分10、（镇江市2013届高三期末）已知函数，对一切正整数，数列定义如下：，且，前项和为.（1）求函数的单调区间，并求值域；（2）证明；（3）对一切正整数，证明： ；.19. 解：（1）定义域R，1分，2分函数的单调增区间为，单调减区间为 3分（法一），当时， ，4分时，为减函数，；当时， ；函数的值域为5分（法二）当时，,当时，,且,函数的值域为.5分（法三）判别式法（略）（2）设,设，则，则，.6分 当时， 恒成立当且仅当时，7分令，当且仅当时，当时，由（）, 当时，无解8分当时， ，当时，在无解9分综上，除外，方程无解， 10分（3） 显然,又,，11分 所以， 若，则 矛盾.所以 .12分 (法一)14分 15分 16分(法二)13分 14分 15分， .16分
