1、第3节平面向量的数量积及平面向量的应用选题明细表知识点、方法题号平面向量的数量积1,3,8平面向量的夹角与垂直2,4,5,6,7,9平面向量的模13,14平面向量数量积的综合问题10,11,12 (建议用时:20分钟)1.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a等于(C)(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),得(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=1,故选C.2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m等于(D)(A)-8 (B)-6(C)6 (D)8
2、解析:由向量的坐标运算得a+b=(4,m-2),由(a+b)b,(a+b)b=12-2(m-2)=0,解得m=8,故选D.3.在ABC中,AB=10,BC=6,CA=8,且O是ABC的外心,则等于(D)(A)16 (B)32 (C)-16 (D)-32解析:以C为原点,建立坐标系(图略),B(6,0),A(0,8),O(3,4),则=(0,8),=(3,-4),所以=-32,故选D.4.已知向量a=(m,3),b=(3,-n),若a+2b=(7,1),则向量a与b的夹角为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为a=(m,3),b=(3,-n),且a+2b=(7,1),所以所以m=1,n=1,则
3、cos=0,即a与b的夹角为.故选C.5.设a=(1,),b=(1,0),c=a+kb,若bc,则a与c的夹角为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由a=(1,),b=(1,0),c=a+kb.则c=(1+k,),由bc,则bc=0,即k+1=0,即k=-1,即c=(0,),设a与c的夹角为,则cos =,又0,所以=,故选A.6.已知向量a=(1,2),b=(-4,m),若ab,则m=.解析:因为ab,所以ab=-4+2m=0,所以m=2.答案:27.设向量a=(3,2),b=(1,-1),若(a+b)a,则实数=.解析:a+b=(3+,2-),因而3(3+)+(2-)2=0,则=-13.答
4、案:-138.已知向量a=(1,2),b=(x,-1),若a(a-b),则ab=.解析:a-b=(1-x,3),因为a(a-b),所以3-2(1-x)=0,解得x=-,所以ab=(1,2)(-,-1)=-2=-.答案:-9.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若ABC为锐角,实数m的取值范围是;若ABC为钝角时,实数m的取值范围是.解析:由已知得=-=(3,1),=-=(2-m,1-m).若,则有3(1-m)=2-m,解得m=.由题设知,=(-3,-1),=(-1-m,-m).若ABC为锐角,则由=3+3m+m0,可得m-;若ABC为钝角,则m-.由题意知,当m=时
5、,且与同向.故当ABC为锐角时,实数m的取值范围是(-,)(,+),当ABC为钝角时,实数m的取值范围是(-,-).答案:(-,)(,+)(-,-) (建议用时:25分钟)10.已知在ABC中,AB=1,BC=,AC=2,点O为ABC的外心,若=x+y,则有序实数对(x,y)为(A)(A)(,) (B)(,)(C)(-,) (D)(-,)解析:取AB的中点M和AC的中点N,连接OM,ON,则,=-=-(x+y)=(-x)-y,=-=-(x+y)=(-y) -x.由,得(-x)-y=0,由,得(-y)-x=0,又因为=(-)2=-2+,所以=-,把代入,得解得x=,y=.故实数对(x,y)为(,
6、).11.ABC中,AB=5,AC=10,=25,点P是ABC内(包括边界)的一动点,且=-(R),则|的最大值是(C)(A) (B)(C) (D)解析:依题意=510cos BAC=25,cos BAC=,BAC=.由余弦定理得BC=5,故AB2+BC2=AC2,三角形ABC为直角三角形.设AD=AB,过D作DPAC,交BC于P,过P作EPAB,交AC于E.由于=-(R),根据向量加法运算的平行四边形法则可知,P点位于线段DP上,由图可知|最长时为|.由于AD=3,BD=2,CAB=PDB=,所以BP=BDtan =2.所以|=.故选C.12.在ABC中,AB=5,AC=6,cos A=,O
7、是ABC的内心,若=x+y,其中x,y0,1,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(B)(A) (B)(C)4 (D)6解析:根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为BOC的面积的2倍.在ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a=7.设ABC的内切圆的半径为r,则bcsin A=(a+b+c)r,解得r=,所以SBOC=ar=7=.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC=.13.已知平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=
8、.解析:因为a,b,c不共线,两两夹角相等,所以=120,所以ab=11cos 120=-,ac=bc=13cos 120=-.所以|a+b+c|=2.答案:214.已知平面向量a,b的夹角为,|a-b|=6,向量c-a,c-b的夹角为,|c-a|=2,则a与c的夹角为,ac的最大值为.解析: 如图,设=a,=b,=c,则|=|c-a|=2,|=|a-b|=6,又因为AOB=,ACB=,所以O,A,B,C共圆,由正弦定理得ABC=BAC=,在ACO中,AOC=ABC=,由余弦定理得AC2=|a|2+|c|2-2|a|c|cos AOC,即122|a|c|-|a|c|a|c|12(2+),所以ac=|a|c|cos AOC18+12,当|a|=|c|=3+时等号成立,即ac的最大值为18+12.答案:18+12
