1、高三年级数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂1. 已知集合，中元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】试题分析：由已知，的值为：，即，故选考点：1集合的概念；2集合的基本关系2. 复数的共轭复数是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论.【详解】，故其共轭复数为.所以选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.3. 执行下面的程序框图，如果输入的N是6，
2、那么输出的p是A. 120B. 720C. 1440D. 5040【答案】B【解析】框图表示，且所求720，选B4. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A5. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个
3、圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图【详解】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：【点睛】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题6. 如果等差数列中，+=12，那么+=（ ）A. 14B. 21C. 28D. 35【答案】C【解析】试题分析：等差数列中，则考点：等差数列的前项和7. 某一考场有64个试室，试室编号为001064，现根据试室号，采用系统抽样法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005，021试室号，则下列可能被抽到的
4、试室号是（ ）A. 029，051B. 036，052C. 037，053D. 045，054【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样性质，第一个是，故后面编号为可得答案.【详解】每八个抽取一个，第一个是，故后面编号为，当时，编号为037当时，编号为.故选：C.8. 在中，角的对边为，则“”成立的必要不充分条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义可逐项分析排除可得答案.【详解】在中，对与A，当时，所以；当时，由得到，是“”成立的充要条件，错误；对于B，当时，所以；当时，由得到，是“”成立的充要条件，错误；对于C，当时，得到；当时，由正弦定理得到，即，
5、所以，由于，得到，所以是“”成立的充要条件，错误；对于D，当时，得到；当时，由正弦定理得，即，由于，所以或，即或者，所以是“”成立的必要不充分条件，正确.故选：D.【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含9. 已知是周期为2的奇函数，当时，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据周期性和奇偶性可得和，由和已知条件
6、可得答案.【详解】因为是周期为2的函数，所以是周期为2的函数，即，由是奇函数，所以，即，所以，当时，所以，故选：D.【点睛】关键点点睛： 是周期为2的函数，所以是周期为2的函数， 是奇函数，所以.10. 若函数的图像关于点中心对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的图像关于点中心对称，由求出的表达式即可.【详解】因为函数的图像关于点中心对称，所以，所以，解得，所以故选：C【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11. 已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB等于()A. B.
7、C. D. 【答案】D【解析】方法一：由得或令B(1，2)，A(4,4)，又F(1,0)，由两点间距离公式得|BF|2，|AF|5，|AB|3cosAFB方法二：由方法一得A(44)，B(1，2)，F(1,0)，(3,4)，(0，2)，|5，|2cosAFB12. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数在上连续单调递增，且,所以函数的零点在区间内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2
8、）函数是否连续.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填写在题中的横线上)13. 已知正方形的边长为，为的中点，则_【答案】2【解析】=(+)(-)=-+-=22-22=2.14. 设满足约束条件 ，则最大值为_【答案】3；【解析】【详解】【分析】做出可行域可知，当的时候 有最大值3.【考点定位】本题考查线性规划知识，考查学生的数形结合能力以及逻辑推理能力.15. 已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.【答案】【解析】如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AHHB=12,所以OH=R.由勾股定理,有R
9、2=r2+OH2,又由题意得r2=,则r=1,故R2=1+,即R2=.由球的表面积公式,得S=4R2=.16. 设函数，则使得成立的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式将不等式转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集得结果.【详解】当时，由得，所以；当时，由得，所以综上，符合题意的的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查解分段函数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17.设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列.（II）求数列的通项公式.【答案】：（I）见解析（II）【解析】【分析】由递
10、推式进行递推，可以寻找规律，根据（I）要求（即提示）变形即可.证明数列最常用的方法是定义法，想到这一点，第（I）题就解决了.根据两个小题的联系，进一步变形寻找规律，求出通项.【详解】18. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.（1）证明：PABD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值【答案】（1）见解析 （2）【解析】【详解】试题解析：（1）DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，从而BD2+AD2=AB2故BDAD，即BD平面PAD，故PA BD（2）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为X轴的正
11、半轴建立空间坐标系则A（1，0，0），B（0，0），C（-1，0），P（0，0，1）设平面PAB的法向量，则，解得平面PBC的法向量，则，解得考点：本题考查线线垂直 二面角点评：解决本题的关键是用向量法证明注意计算准确性19.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望.【答案】在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.（2）（3）见解析【
12、解析】【分析】根据分层抽样的抽取比例可以确定各组抽取的人数，容易求.从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，那么还需抽取1名男工人，根据古典概型公式，即可.抽取的3名工人中男工人数可以是0，1，2，3，有四种情况，一一列出，构成分布列，根据数学期望公式完成计算.【详解】按照抽取的比例，甲组和乙组抽取的人数分别为，所以应在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.设从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的事件为A,则P(A)=.依题意由,得的分布列如下表：0123P所以的数学期望20. 已知点P(2,2),圆，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP
13、|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.【答案】(1) ；(2)直线的方程为，的面积为.【解析】【分析】求得圆的圆心和半径.（1）当三点均不重合时，根据圆的几何性质可知，是定点，所以的轨迹是以为直径的圆（除两点），根据圆的圆心和半径求得的轨迹方程.当三点有重合的情形时，的坐标满足上述求得的的轨迹方程.综上可得的轨迹方程.（2）根据圆的几何性质（垂径定理），求得直线的斜率，进而求得直线的方程.根据等腰三角形的几何性质求得的面积.【详解】圆，故圆心为，半径为.(1)当C,M,P三点均不重合时,CMP=90,所以点M轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),线段中点为，故的轨迹方程为(x-1)2
14、+(y-3)2=2(x2,且y2或x0,且y4).当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以的斜率为，故的方程为，即.又易得|OM|=|OP|=，点O到的距离为，所以POM面积为.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查圆的几何性质，考查等腰三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档
15、题.21. 设函数有两个极值点、，且（）求的取值范围，并讨论的单调性（）证明：【答案】(1) ；单调性见解析.(2)证明见解析.【解析】试题分析 : （1）先确定函数的定义域然后求导数，由题意知，是方程的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式 和，求出单调区间；（2）是方程的根，将用表示，消去得到关于的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式试题解析 :（）由题意知，函数的定义域是，且有两个不同的实数根，故的判别式，即，且，又，故因此的取值范围是当变化时与的变化情况如下表：极大值极小值因此在区间和是增函数，在上是减函数（）由题意和知，于是设函
16、数，则当时，当时，故在上是增函数于是，当，因此.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点，点满足.（1）求点轨迹方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线交于不同于原点的点求.【答案】（1） ；（2）.【解析】【分析】(1)先设出点的坐标,然后根据点满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线的方程;（2）根据(1)将求出曲线的极坐标方程,分别求出射线与的交点的极径为,以及射线与的交点的极径为,最后根据求出所求.【详解】（1）设,则由条件知.由于M点在上,所以即从而的参数方程为 .(2)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.射线与的交点A的极径为,射线与的交点B的极径为.所以.【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题
