1、 “课时素养评价”四等差数列的性质 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(2020扬州高二检测)在等差数列an中,若a3=-6,a7=a5+4,则a1等于()A.-10B.-2C.2D.10【解析】选A.因为数列an是等差数列,a7=a5+4,所以a5+2d=a5+4(d是公差),解得d=2,因为a3=a1+2d=-6,即a1+4=-6,解得a1=-10.【加练固】已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9【解析】选B.由题意2n+m=8,2m+n=10,两
2、式相加得3m+3n=18,m+n=6,所以m和n的等差中项是3.2.(多选题)若an是公差不为0的等差数列,则下列数列为等差数列的有()A.an+an+1B.C.an+1-anD.2an【解析】选ACD.设等差数列an的公差为d.对于A,(an+an+1)-(an-1+an)=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n2),所以an+an+1是以2d为公差的等差数列;对于B,-=(an+1-an)(an+an+1)=d(an+an+1)常数,所以不是等差数列;对于C,因为an+1-an=d,所以an+1-an为常数列;所以an+1-an为等差数列;对于D,因为2an+1-2an=2d,所
3、以2an为等差数列.3.九章算术一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第十五日所织尺数为()A.13B.14C.15D.16【解析】选C.由题意可知,每日所织数量构成等差数列an,且a2+a5+a8=15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=5+101=15.4.已知等差数列an的公差为d(d0),且a3+a6+a10+a13=32,若am
4、=8,则m的值为()A.12B.8C.6D.4【解析】选B.由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,所以a8=8,又d0,所以m=8.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列an为等差数列,若a2+a6+a10=,则tan(a3+a9)的值为_.【解析】因为数列an为等差数列,a2+a6+a10=,所以a2+a6+a10=3a6=,解得a6=,所以a3+a9=2a6=,所以tan(a3+a9)=tan=.答案:6.(2020杭州高二检测)已知各项都不为0的等差数列an满足a2-2+a10=0,则a6的值为_.【解析
5、】因为各项都不为0的等差数列an满足a2-2+a10=0,即2a6-2=0,则a6=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)7.成等差数列的四个数之和为26,第二个数和第三个数之积为40,求这四个数.【解析】设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由,得a=.代入,得d=.所以四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.8.已知数列an为等差数列,且公差为d.(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.【解析】(1)等差数列an中,a15=8,a60=20,解得d=,a65=a60+5d=20+=.(2)数
6、列an为等差数列,且公差为d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.a5=a2+3d,即13=4+3d或4=13+3d,解得d=3或d=-3. (15分钟30分)1.(5分)已知数列an是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15=()A.7B.14C.21D.7(n-1)【解析】选B.因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=27=14.2.(5分)设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是()A.a=-bB.a=3bC.a=-b或a=3bD.a
7、=b=0【解析】选C.由等差中项的定义知:x=,x2=,所以=,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.3.(5分)在等差数列an中,a5+a6=4,则log2()=_.【解析】在等差数列an中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则log2()=log2=a1+a2+a10=20.答案:204.(5分)若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为_.【解析】设这三个数为a-d,a,a+
8、d,则解得a=3,d=4或a=3,d=-4.所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1.所以这三个数的积为-21.答案:-215.(10分)已知数列a1,a2,a30,其中a1,a2,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,a30是公差为d2的等差数列(d0).(1)若a20=30,求公差d;(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.【解析】(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,所以d=2.(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d0),a30=10,当d(-,0)(0,+)时,a30.1.设
9、公差为-2的等差数列an,如果a1+a4+a7+a97=50,那么a3+a6+a9+a99等于()A.-182B.-78C.-148D.-82【解析】选D.a3+a6+a9+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+(a97+2d)=(a1+a4+a97)+2d33=50+2(-2)33=-82.【加练固】若等差数列an的首项a1=5,am=3,则am+2等于()A.13B.3-C.3-D.5-【解析】选B.设等差数列an的公差为d,因为a1=5,am=3,所以d=.所以am+2=am+2d=3+=3-.2.已知无穷等差数列an,首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除
10、余3的项组成数列bn.(1)求b1和b2;(2)求数列bn的通项公式;(3)数列bn中的第110项是数列an中的第几项?【解析】(1)由题意,等差数列an的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n,设数列bn的第n项是数列an的第m项,则需满足m=4n-1,nN+.所以b1=a3=8-53=-7,b2=a7=8-57=-27.(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以数列bn也为等差数列,且首项b1=-7,公差d=-20,所以bn=b1+(n-1)d=-7+(n-1)(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,nN+,所以当n=110时,m=4110-1=439,所以数列bn中的第110项是数列an中的第439项.【加练固】已知两个等差数列an和bn,且an为2,5,8,bn为1,5,9,它们的项数均为40项,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?【解析】由已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为:an=3n-1,bm=4m-3(m,nN+,且1n40,1m40).令an=bm,得3n-1=4m-3,即n=,令2m-1=3t,因为(2m-1)N+且为奇数,所以tN+且为奇数,所以m=,n=2t.又因为1n40,1m40,所以所以故t20,又tN+且为奇数,所以它们共有10个数值相同的项.
