1、3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程学 习 任 务核 心 素 养1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)1.通过双曲线概念的学习，培养数学抽象素养2通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等素养.做下面一个实验(1)取一条拉链，拉开一部分(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？知识点1双曲线的定义文字语言平
2、面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹符号语言|PF1|PF2|常数(常数|F1F2|)焦点定点F1，F2焦距两焦点间的距离1.(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a(常数)，且2a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b22.如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？提示双曲线的焦点在x轴上标准方
3、程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上标准方程中y2项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法2.(1)若双曲线方程为1，则其焦点在_轴上，焦点坐标为_(2)已知a5，c10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为_(1)x(6,0)和(6,0)(2)1(1)因为方程中x2的系数0，所以焦点在x轴上，且a216，b220，从而c2162036，c6，故焦点坐标为(6,0)和(6,0)(2)由已知得b2c2a275，于是双曲线方程为1. 类型1双曲线定义的应用【例1】若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点
4、的距离(2)若点P是双曲线上的一点，且F1PF260，求F1PF2的面积解(1)由双曲线方程知a29，b216，则c225，a3，b4，c5.设|MF1|7，则根据双曲线的定义知|MF2|7|6，即|MF2|76.解得|MF2|13，或|MF2|1，又|MF2|1ca，则|MF1|1不合题意，因此，点M到另一个焦点的距离为13.(2)由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sin F1PF26416.求双曲线中焦
5、点PF1F2面积的两种方法(1)方法一：(先求|PF1|PF2|的值)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)方法二：利用公式SPF1F2|F1F2|yp|(yp为P点的纵坐标)求得面积提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，二是特别注意|PF1|2|PF2|2与|PF1|PF2|的关系跟进训练1(1)已知双曲线C的方程是1，其上下焦点分别是F2
6、，F1，点M在双曲线C上，且|MF1|9则|MF2|等于()A17B1C17或1D16或1(2)设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4B8 C24D48(1)A(2)C(1)由双曲线方程知a216，b220，则c236，a4，b2，c6.根据双曲线的定义得|MF2|9|8，即|MF2|98，解得|MF 2|17或|MF2|1，又|MF2|10)，把点A的坐标代入，得b20)，把A点的坐标代入，得b29.故所求双曲线的标准方程为1.(2)双曲线1的焦点在x轴，因此设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，c216
7、420，即a2b220.双曲线经过点(3，2)，1.由得a212，b28，双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线的方程为Ax2By21，AB0.点P，Q在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤提示(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)，将点(4，2)和(2，2)代入方程得解得a28，b24，所以双曲线的标准方程为1. 类型3方程表示双曲线的条件【例3】给出曲线方程1.(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；(2
8、)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围解(1)方程表示双曲线，则有(4k)(1k)0，解得k1或k4，因此实数k的取值范围是(，4)(1，)(2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k4，因此实数k的取值范围是(，4)方程表示双曲线的条件(1)对于方程1，当mn0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0时表示焦点在y轴上的双曲线(2)对于方程1，当mn0时表示双曲线，且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0，即(k1)(k1)0，解得1k0)由椭圆方程，知c24a2，所以a24a2，即a2a20，解得a1或a2(舍去)因此a的值为1. 类型4与双曲线有关的轨迹问
9、题【例4】如图所示，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程在ABC中，由2sin Asin C2sin B能得到什么结论，由此思考动点C满足的条件，进而求出轨迹方程.解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，即|AC|BC|2a)，a，c2，b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x)求解与双曲线有关的点的轨迹
10、问题，常见的方法有两种(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟进训练4.如图所示，已知定圆F1：x2y210x240，定圆F2：x2y210x90，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11.圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲
11、线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.故动圆圆心M的轨迹方程为1.1已知F1(5,0)，F2(5,0)为定点，动点P满足|PF1|PF2|2a，当a3和a5时，P点的轨迹分别为()A双曲线和一条直线B双曲线的一支和一条直线C双曲线和一条射线D双曲线的一支和一条射线D因为|F1F2|10，|PF1|PF2|2a，所以当a3时，2a69是方程1表示双曲线的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件B当k9时，9k0，方程表示双曲线当k0，k49是方程1表示双曲线的充分不必要条件4已知双曲线1(a0)的一个焦点为F1(5,0)，设另一个为F2，点P是双曲线上的一点，若|P
12、F1|9，则|PF2|_.(用数值表示)17或1由题意知，双曲线1(a0)的一个焦点为F1(5,0)，c5，又由a 2c2b225916，所以a4，因为点P为双曲线上一点，且|PF1|9，根据双曲线的定义可知|PF2|PF1|2a8，所以|PF2|17，或|PF2|1.5设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为_1由椭圆方程得焦点坐标为(0，3)，椭圆与双曲线的一个公共点为(，4)设所求的双曲线方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程提示定义：把平面内与两个
13、定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线标准方程：1(a0，b0)和1(a0，b0)(2)方程1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？提示若表示双曲线，则满足mn0.若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足(3)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|、|PF2|的最小值分别是多少？提示|PF1|的最小值为ca，|PF2|的最小值为ac.(4)定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？提示根据条件看是|PF1|PF2|2a还是|PF1|PF2|2a，若|PF1|PF2|2a或|PF2|PF1|2a，点的轨迹是双曲线一支，若|PF1|PF2|2a，则点的轨迹是双曲线
