1、大题基础练(三)立体几何1.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB平面BB1C1C，点E是棱C1C的中点，已知A1B1B1C1C1C2，B1E.(1)求证：B1B平面ABC；(2)求二面角A-EB1-A1的余弦值(1)证明：依题意，在B1C1E中，B1C12，B1E，C1EC1C1，所以B1CC1E2B1E2，所以B1C1E90.又因为三棱锥ABC-A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形，所以四边形BB1C1C为矩形，所以B1BBC.因为AB平面BB1C1C，BB1平面BB1C1C，所以B1BAB.又因为AB，BC平面ABC，ABBCB，所以B1B平面ABC.(2)解：因为AB平面B
2、B1C1C，BC平面BB1C1C，所以ABBC.如图建立空间直角坐标系B-xyz，则A(0，0，2)，E(2，1，0)，B1(0，2，0)，A1(0，2，2)，(2，1，0)，(0，2，2)，B1A1(0，0，2)设平面AEB1的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y2，z2，于是n(1，2，2)，设平面A1EB1的法向量为m(x1，y1，z1)，则即令x1，则y2，z0.于是m(1，2，0)，所以cosn，m.由题知二面角A-EB1-A1为锐角，所以其余弦值为.2.如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC平面BCGF，CB2GF，BFCF.(1)求证：ABCG；(2)若BC
3、CF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值(1)证明：取BC的中点为D，连接DF.由ABCEFG是三棱台得，平面ABC平面EFG，从而BCFG.因为CB2GF，所以CDGF，所以四边形CDFG为平行四边形，所以CGDF.因为BFCF，D为BC的中点，所以DFBC，所以CGBC.因为平面ABC平面BCGF，且交线为BC，CG平面BCGF，所以CG平面ABC，而AB平面ABC，所以CGAB.(2)解：连接AD.由ABC是正三角形，且D为中点，则ADBC.由(1)知，CG平面ABC，CGDF，所以DFAD，DFBC，所以DB，DF，DA两两垂直以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间
4、直角坐标系D-xyz.设BC2，则A(0，0，)，E(，)，B(1，0，0)，G(1，0)，所以，(2，0)，(，)设平面BEG的一个法向量为n(x，y，z)由可得，令x，则y2，z1，所以n(，2，1)设AE与平面BEG所成角为，则sin |cos，n|.3如图，在等腰梯形ABCD中，BCAD，AB，BC1，AD3，BPAD，将ABP沿BP折起，使平面ABP平面PBCD，得到如图所示的四棱锥ABCDP，其中M为AD的中点(1)试分别在PB，CD上确定点E，F，使平面MEF平面ABC；(2)求二面角M-PC-A的余弦值解：(1)E，F分别为BP，CD的中点，证明如下：连接ME，MF，EF，因为
5、M，F分别为AD，CD的中点，所以MFAC.又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，所以BCEF.因为MF平面ABC，AC平面ABC，所以MF平面ABC，同理EF平面ABC，又因为MFEFF，MF，EF平面MEF，所以平面MEF平面ABC.(2)由题意知AP，BP，DP 两两垂直，以P为坐标原点，PB，PD，PA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为在等腰梯形ABCD中，AB，BC1，AD3，BPAD，所以AP1，BP1，PD2，所以M，P(0，0，0)，C(1，1，0)，A(0，0，1)，(1，1，0)，.设平面MPC的法向量为n1(x，y，z)，则即令z2，则
6、y1，x1，所以n1(1，1，2)为平面MPC的一个法向量同理可得平面PAC的一个法向量为n2(1，1，0). 设二面角M-PC-A的平面角为，由图可知，则cos .所以二面角M-PC-A的余弦值为.4如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF1，M是线段EF的中点，二面角A-DF-B的大小为60.(1)求证：AM平面BDE；(2)试在线段AC上找一点P，使得PF与CD所成的角是60.(1)证明：设ACBDN，连接NE，因为ACEF，ACEF，M是线段EF的中点，N是线段AC的中点，所以ANEM，ANME，所以四边形AMEN为平行四边形，所以AMEN，又因为EN平面BDE，
7、AM平面BDE，所以AM平面BDE.(2)解：如图，以CD，CB，CE为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设ABt，则A(t，t，0)，B(0，t，0)，D(t，0，0)，F(t，t，1)，所以(t，0，0)，(t，t，0)，(t，0，1)，因为AFAB，ABAD，AFADA，所以AB平面ADF，所以(t，0，0)为平面DAF的法向量，设平面BDF的法向量为n(x，y，z)，所以即令x1，则平面BDF的一个法向量为n1(1，1，t)设二面角A-DF-B的大小为，则cos ，解得t，设P(a，a，0)，(a，a，1)，(，0，0)，则cos ，解得a或a(舍去)，所以当点P为线段AC的
8、中点时，直线PF与CD所成的角为60.5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1，ABACAA11，M，N，P分别为A1C1，AB1，BB1的中点，且APMN.(1)求证：MN平面B1BCC1；(2)求BAC；(3)求二面角A1-PN-M的余弦值(1)证明：取B1C1的中点Q，连接MQ，NP，PQ，则有MQA1B1，且MQA1B1，PNAB，且PNAB，又ABA1B1，ABA1B1，所以PNMQ，且PNMQ，所以PNMQ为平行四边形，所以MNPQ，又MN平面B1BCC1，PQ平面B1BCC1，所以MN平面B1BCC1.(2)解：设a，b，c，BAC，由已知可得，|a|b|c|1，且acbc0，则ac
9、，cba，因为PAMN，所以aba2c2cos 0，所以cos ，即BAC60.(3)解：在平面ABC内过点A做射线l垂直于AB，易知AB，l，AA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则P，M，N，n1(0，1，0)为平面A1PN的一个法向量，.设n2(x，y，z)为平面PMN的一个法向量，则，令y1，则n2，则cosn1，n2，所以二面角A1-PN-M的余弦值为.6如图1所示，EFGH为矩形，四边形ABCD为正方形ADD1A与BCC1B1为全等的等腰梯形，其中AB2AE2AA12DH2A1D14，沿着AB，BC，CD，DA折成如图2所示的几何体ABCD-A1B1C1D1，使A
10、1，B1，C1，D1分别与E，F，G，H重合(1)求证：平面AA1D1D平面ABCD；(2)求平面B1CD1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ABAD，因为四边形ABB1A1是矩形，所以ABAA1，又因为ADAA1A，AA1平面AA1D1D，所以AB平面AA1D1D.又因为AB平面ABCD，所以平面AA1D1D平面ABCD.(2)解：由(1)知平面ABCD平面ADD1A1.过A1作A1OAD于点O，因为平面ABCD平面ADD1A1，平面ABCD平面ADD1A1AD，所以A1O平面ABCD.过O作ONAB，且交BC于点N，所以OA1，OD，ON两两垂
11、直，分别以OD，ON，OA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示：则C(3，4，0)，D1(2，0，)，B1(0，4，)，(1，4，)，(3，0，)，设平面B1CD1的一个法向量为n(x，y，z)，则由得令z，得n.又平面ABCD的一个法向量m(0，0，1)，所以cos m，n，所以平面B1CD1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADAB，ADBC，AD3，ABBC2，PA4，PD5，平面PAD平面ABCD，点E在棱PD上，(01)，F，G分别为PC，PB的中点，过E，F，G三点的平面交PA于点H，且EF平面PAB.(1
12、)求的值；(2)求PC与平面EFGH所成角的正弦值解：(1)因为EF平面PAB，EF平面EFGH，平面PAB平面EFGHGH，所以EFGH.因为F为PC的中点，G为PB的中点，所以FGBC.又因为底面ABCD为直角梯形，ADBC，所以FGAD.因为FG平面PAD，AD平面PAD，所以FG平面PAD.又因为平面EFGH平面PADEH，所以FGEH，从而四边形EFGH为平行四边形又BC2，所以FG1，所以EHGF1，所以，所以.所以的值为.(2)由题可知AD3，PA4，PD5所以AD2PA2PD2，所以PAAD.又因为平面PAD平面ABCD，且交于AD，所以PA平面ABCD.又ABAD，所以AB，
13、AD，AP两两垂直以A为坐标原点，分别以向量，所在方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，3，0)，P(0，0，4)由(1)可知，即PEPD.所以E.因为EHAD，EHAD，所以H.又F为PC的中点，所以F(1，1，2)所以(0，1，0)，(2，2，4)设平面EFGH的一个法向量n(x，y，z)，所以即令z3，所以x2，所以n(2，0，3)设PC与平面EFGH所成的角的平面角为，所以sin |cosn，|.故PC与平面EFGH所成角的正弦值为.8请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答AB
14、BC，FC与平面ABCD所成的角为，ABC.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，且PAAB2，PD的中点为F.(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2)若_，求二面角F-AC-D的余弦值解：(1)在线段AB上存在中点G，使得AF平面PCG.证明如下：如图所示：设PC的中点为H，连接FH，因为FHCD，FHCD，AGCD，AGCD，所以FHAG，FHAG所以四边形AGHF为平行四边形，则AFGH，又GH平面PCG，AF平面PCG，所以AF平面PCG.(2)选择ABBC：因为PA平面AB
15、CD，所以PABC，由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为PAAB2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，所以(0，1，1)，(2，1，1)，设平面FAC的一个法向量为(x，y，z)，所以取y1，得(1，1，1)，平面ACD的一个法向量为v(0，0，1)，设二面角FACD的平面角为，则cos ，所以二面角F-AC-D的余弦值为.选择FC与平面ABCD所成的角为：因为PA平面ABCD，取BC中点E，连接AE，取AD的中点M，连接FM，CM，则FMPA，且FM1，
16、所以FM平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为FCM，所以FCM，在RtFCM中，CM，又CMAE，所以AE2BE2AB2，所以BCAE，所以AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为PAAB2，所以A( 0，0，0)，B(，1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，所以(0，1，1)，(，0，1)，设平面FAC的一个法向量为m(x，y，z)，则取x，得m(，3，3)，平面ACD的一个法向量为：n(0，0，1)，设二面角F-AC-D的平面角为，则cos .所以二面角FACD的余弦值为.选择
17、ABC：因为PA平面ABCD，所以PABC，取BC中点E，连接AE，因为底面ABCD是菱形，ABC60，所以ABC是正三角形，因为E是BC的中点，所以BCAE，所以AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为PAAB2，所以A( 0，0，0)，B(，1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，所以(0，1，1)，(，0，1)，设平面FAC的一个法向量为m(x，y，z)，则取x，得m(，3，3)，平面ACD的法向量n(0，0，1)，设二面角F-AC-D的平面角为，则cos .所以二面角F-AC-D的余弦值为.
