1、红河州2018年中小学教学质量监测高二文科数学 试题卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解不等式得集合，再求集合交集即可.【详解】解：解不等式得，故，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2.已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】利用复数的除法法则可将复数化为一般形式，进而可得出，由此能得出结果.【详解】,，因此，的共轭复数的虚部为.故选：B.【点睛】本题考查复数虚部的求解，同时也考查了
2、复数的除法以及共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.3.若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，且点为的中点，则质点落在阴影区域内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出矩形以及阴影部分区域的面积，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】矩形的面积为，阴影部分区域的面积为.因此，质点落在阴影区域内的概率是.故选：A.【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.4.某地区年至年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表所示：年份年份代码人均收入由表中数据得到线性回归方程，根据回归方程预测年人均纯收入约
3、为（ ）千元.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出、，将点代入回归直线方程，可求得的值，再将代入回归直线方程可得出结果.【详解】由表格中的数据可得，由于回归直线过样本的中心点，则，可得，所以，回归直线方程为，当时，.因此，预测年人均纯收入约为千元.故选：D.【点睛】本题考查利用回归直线方程对总体数据进行估计，同时也考查了利用样本的中心点求参数，考查计算能力，属于基础题.5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是由一个三棱柱和长方体拼接而成的几何体，利用柱体的体积公式结合三视
4、图中的数据可求得该几何体的体积.【详解】由三视图还原原几何体，如下图所示：由图可知，该几何体是由一个三棱柱和长方体拼接而成的几何体，由三视图中的数据可知，该几何体的体积为.故选：B.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，一般要求作出几何体的直观图，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6.执行如图所示程序框图，则输出的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，输出的，并计算得出，且有，由此可得出输出的值.【详解】由于，则，且，第一次循环，不成立，；第二次循环，不成立，；第三次循环，不成立，；以此类推，执行最后一次循环，不成立，所以，输出的.故选：B.【点睛】
5、本题利用算法程序框图计算输出结果，考查了正弦函数周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线的一条渐近线与直线垂直可求得的值，再由可求得双曲线的离心率的值.【详解】双曲线的渐近线方程为，由于该双曲线的一条渐近线与直线垂直，则，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：C.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线斜率求离心率，利用公式较为方便，考查计算能力，属于基础题.8.已知直线和圆交于、两点，为坐标原点，若，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出圆心到直线的
6、距离，利用点到直线的距离可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.【详解】由于，则圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得.故选：A.【点睛】本题考查利用弦所对的圆心角求参数，解答的关键就是将问题转化为弦心距来计算，考查计算能力，属于中等题.9.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. 的最大值为C. 的图像关于直线对称D. 将的图像向左平移个单位长度，可得到一个偶函数的图像【答案】D【解析】分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质判断各选项【详解】，A错误；最大值为，B错误；时，不是的对称轴，C错误；将的图像向左平移个单位长度，得到函数解析式
7、是是偶函数，D正确故选：D【点睛】本题考查三角函数图象与性质，解题关键是利用三角函数恒等变换把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解10.已知函数，则下列结论中错误的是（ ）A. ，B. 函数的图像是中心对称图形C. 是函数的极大值点D. 函数在区间单调递减【答案】C【解析】【分析】由判断A，计算可判断B，利用导数可判断C，D【详解】，A正确；，函数的图象关于点中心对称，B正确；，或时，时，在和上递增，在上递减，是极小值点，C错误，D正确 故选：C【点睛】本题考查函数的零点，函数图象的对称性，考查用导数研究函数的极值与单调区间，掌握极值与导数的关系是解题基础，函数满足，则的
8、图象关于点对称11.在中，内角，所对的边分别是，若的面积S满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理与面积公式得，化简再结合同角三角函数关系解方程即可得到.【详解】解：因为的面积S满足，故根据三角形面积公式 和余弦定理 得：，所以，又因为，所以有，整理得：，解得或，又因为，故.故选：D.【点睛】本题考查三角形面积公式与余弦定理，同角三角函数关系，考查数学运算能力，是中档题.12.已知函数，则、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析出函数为偶函数，且在上为增函数，求得，进而可得出、的大小关系.【详解】函数的定义域为，当时，该函数
9、在上单调递增，又，且，故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，考查推理能力，属于中等题.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，若，则实数k的值为_.【答案】【解析】【分析】由向量的数量积为0可求得【详解】由已知，故答案为：【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，掌握平面向量数量积的性质是解题关键、14.若实数、满足约束条件，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，可
10、得点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故答案为：.【点睛】本题考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.15.中国古代数学名著九章算术中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”，已知某鳖臑的所有顶点都在球O的球面上，且平面BCD，则球O的表面积为_.【答案】【解析】【分析】由勾股定理可求出的长，可得，进而可确定外接球球心为中点，即可得球的半径，即可求出外接球的表面积.【详解】如图，因为平面BCD，所以在中，在中，所以，即，在直角三角形中，斜边上的中点到各个顶点距离相等，可知中点O到的距离相等，所以
11、此鳖臑的外接球的球心为O，所以半径，所以球的表面积,故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥外接球的半径，表面积的求法，属基础题16.过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于、两点，则以线段为直径的圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】可得直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，可求得线段的中点坐标，利用抛物线的焦点弦长公式可求得，进而可得出所求圆的方程.【详解】抛物线的焦点为，由题意可知直线的方程为，设点、，联立，消去可得，由韦达定理得，则，线段的中点为，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，以线段为直径的圆的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查圆的方程的求解，考查抛物线焦点弦
12、长以及线段中点坐标的求解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列满足：，.（1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）由即可证明，再利用等差数列的通项公式即可求得；（2）由，利用裂项求和即可【详解】解：（1） ， （）， 数列是首项为 ，公差为的等差数列， ， .（2）由于，【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，裂项相消法求和，重点考查转化与化归的思想，计算变形能力，属于基础题型.18.某公司为了调查每天手机用户使用手机
13、的时间，在一广场随机采访男性、女性用户各名，其中每天玩手机超过小时的用户称为“手机控”，否则称为“非手机控”.调查结果如下：性别与手机控列联表（单位：人）手机控非手机控合计男性女性合计（1）根据以上数据，能否有的把握认为“手机控”与“性别”有关？（2）现从调查女性用户中按分层抽样的方法选出人，再从这人中随机抽取人赠送纪念品，求至少有一人是“手机控”的概率.参考公式：.参考数据：【答案】（1）没有的把握认为“手机控”与“性别”有关，理由见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用列联表中的数据求得的观测值，利用临界值表可得出结论；（2）由题意可知，抽取的名女性用户中是“手机控”的有人，分别记为、，
14、“非手机控”的有人，分别记为、，列举出所有的基本事件，确定事件“从这人中随机抽取人赠送纪念品，至少有一人是“手机控”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由表格中的数据可得，因此，没有的把握认为“手机控”与“性别”有关；（2）由题意可知，抽取的名女性用户中是“手机控”的有人，分别记为、，“非手机控”的有人，分别记为、，从这人中随机抽取人，所有的基本事件有：、，共种，其中，事件“所抽取的人中至少有一人是“手机控”所包含的基本事件有：、，共个.因此，所求概率为.【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概
15、率，考查计算能力，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，已知平面平面BCD，.（1）求证：平面ABC；（2）若点E是线段CD的中点，求C到平面ABE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明；（2）由可求得C到平面ABE的距离【详解】（1），又平面平面BCD，平面平面BCD，平面，平面ABC；（2）取中点，连接，中由余弦定理得， 是等腰直角三角形，是中点，则，又平面平面BCD，平面平面BCD，平面，平面，平面，又是中点，是等腰三角形，设到平面的距离为，由得，解得到平面的距离为【点睛】本题考查证明线面垂直，求点到平面的距离证明线面垂直，掌握面面垂直的性
16、质定理是关键，求点到平面的距离采取的方法是等体积法20.已知椭圆上任意一点P，由点P向x轴作垂直线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若直线与曲线C交于A，B两点，且，求k的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先设出点，求出，再结合，即可把点的坐标用点的坐标表示出来，最后把点的坐标代入椭圆方程即可求出曲线C的方程；（2）由直线方程与曲线C的方程联立成方程组，消元后得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系，再结直线方程得到，从而可求出 ，所以，从而求出k的值.【详解】解：（1）设，点为椭圆上任一点，则，因为，所以，得，所以点的坐标为，
17、因为点在椭圆上，所以，即，故曲线C的方程为，（2）设，由，得，则，所以，所以，因为，直线与轴交于点，所以，化简得，解得或（舍去），所以【点睛】此题考查了求曲线的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）对，成立，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的最小值；（2）对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，求得函数的最小值，然后解不等式，即可得出实数的值.【详解】（1）当时，该函数的定义域为，且.当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递
18、增.所以，当时，函数取得最小值，即；（2），且.当时，对任意的，此时，函数在上单调递增，则当时，不合乎题意；当时，令，可得.当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增.所以，当时，函数取最小值，即，由题意可得，令，其中，当时，此时，函数单调递增；当时，此时，函数单调递减.所以，即，又，因此，.【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查计算能力，属于中等题.22.已知在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于
19、、两点，若为线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，列出韦达定理，由可求得的值，进而可求得直线的方程.【详解】（1）由得，由可得出曲线的直角坐标方程为；（2）设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立得，由题意可得，由于为线段的中点，由韦达定理得，可得，所以，直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.23.已知函数.（1）解不等式；（2）若函数的最小值为，且正实数、满足，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，可得，将不等式两边平方，利用二次不等式的解法解该不等式即可得解；（2）将函数的解析式表示为分段函数，利用函数单调性可求得的值，然后利用柯西不等式可证得所证不等式成立.【详解】（1）由，得，不等式两边平方可得，即，解得.因此，不等式的解集为；（2）当时，；当时，；当时，.综上所述，所以，即，由柯西不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，因此，.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用柯西不等式证明不等式成立，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
