1、1.3.1-2空间向量及其运算的坐标表示 教材要点要点一空间直角坐标系如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫做_在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)使 axiyjzk，有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，记作 a_.单位正交基底(x，y，z)要点二 空间向量的坐标表示在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们叫做坐标轴这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，
2、O叫做原点，i，j，k叫做_，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的方向，食指指向y轴的方向，如果中指指向z轴的方向，则称这个坐标系为_坐标向量右手直角坐标系要点三 空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下：运算坐标表示加法ab_减法ab_数乘a_数量积 ab_(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)，Ra1b1a2b2a3b3要点四 空间向量的平行、垂直、模、夹角公式与两点间的距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则平行(ab)ab(b
3、0)ab _垂直(ab)abab0_(a，b均为非零向量)模|a|aa_a1b1a2b2 a3b3(R)a1b1a2b2a3b30a21a22a23夹角公式cosa，b ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)则dP1P2P1P2|P1P2|_x2x12y2y12z2z12基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)对于空间任意两个向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，若a与b共线，则a1b1a2b2a3b3.()(2)若向量AB(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(
4、x1，y1，z1)()(3)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件()(4)空间向量的加法、减法、乘法坐标运算的结果依然是一个向量()2已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于()A(16,0,4)B(8，16,4)C(8,16,4)D(8,0,4)解析：4a(12，8,4)，2b(4,8,0)，4a2b(8,0,4)故选D.答案：D3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k()A1 B.15C.35D.75解析：kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得k75.故选D.答案：D4若A
5、(1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则mn_.解析：AB(3，1,1)，AC(m1，n2，2)A，B，C三点共线，存在实数，使得ACAB.即(m1，n2，2)(3，1,1)(3，)m13，n2，2，解得2，m7，n4.mn3.答案：3题型一空间直角坐标系与空间向量的坐标表示例 1如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，N 为 A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN，BA1，A1B 的坐标解析：由题意知CC1AC，CC1BC，ACBC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间
6、直角坐标系Cxyz，如图所示则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)BN(1，1,1)，BA1(1，1,2)，A1B(1,1，2)方法技巧建立适当的空间直角坐标系，各点的坐标表示以简单方便为宜向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标变式训练 1已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F分别为棱 BB1，DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量EF，B1F，A1E 的坐标解析：(1
7、)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0，0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)所以 EF(2，1，1)，B1F(2，1，2)，A1E(0,2，1)题型二空间向量平行、垂直的坐标表示探究 1由平行、垂直关系求参数例 2(1)已知向量 a(0,1,1)，b(1，2,1)若向量 ab 与向量 c(m,2，n)平行，则实数 n 的值是()A6B6C4D4解析：(1)a(0,1,1)，b(1，2,1)ab(1，1,2)又因为向
8、量ab与向量c(m,2，n)平行所以存在实数，使得(ab)cm2n2解得m22n4故选D.答案：(1)D(2)已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，若kab与b互相垂直，则实数k的值是_解析：(2)因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，又kab与b互相垂直，所以(kab)b0，即(k1)40，解得k5.答案：(2)5方法技巧解答此类问题只需根据平行、垂直的条件建立方程(组)求解即可探究 2平行、垂直关系在立体几何证明中的应用例 3在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 E，F，G，H 分别是 CC1，BC，CD，A1C1 的中点求证：(1)AB1GE，
9、AB1EH；(2)A1G平面 EFD.证明：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1 为正交基底建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)由中点坐标公式，得E(1,1，12)，F(1，12，0)，G(12，1,0)，H(12，12，1).(1)AB1(1,0,1)，GE(12，0，12)，EH(12，12，12).因为AB1 2GE，AB1 EH 1121120，所以AB1 GE，AB1 EH，即AB1GE，AB1EH.(2)A1G(12，1，1)，DF(1，1
10、2，0)，DE(1,0，12).因为A1G DF 121200，A1G DE 120120，所以A1GDF，A1GDE.因为DFDED，所以A1G平面EFD.方法技巧对于一些以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体作为载体的立体几何问题，可以优先考虑坐标法，这种方法的优点在于抛开了繁杂的推理论证，仅通过计算即可获得一些平行、垂直关系变式训练 2已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设 aAB，bAC.(1)设|c|3，cBC，求 c；(2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k.解析：(1)因为BC(2，1,2)，且cBC所以设cBC(2，2)得|c|222
11、223|3解得1，即c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)因为aAB(1,1,0)，bAC(1,0,2)所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又因为(kab)(ka2b)所以(kab)(ka2b)0即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100解得k2或52.题型三空间向量夹角、模的坐标表示的应用例 4如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，N 是 A1A 的中点(1)求BN的模；(2)求 cosBA1，CB1 的值解析：如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1 为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0)，
12、N(1,0,1)|BN|102012102 3.(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)BA1(1，1,2)，CB1(0,1,2)，BA1 CB1 3，|BA1|6，|CB1|5.cosBA1，CB1 BA1 CB1|BA1|CB1|3010.方法技巧利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤1根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；2利用题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；3利用空间向量的模与夹角的坐标表示求解变式训练 3在长方体 OABCO1A1B1C1 中，OA2，AB3，AA12，E 是 BC 的中点，(1)求异面直线 A
13、O1 与 B1E 所成角的余弦值；(2)过点 O1 作 O1DAC 于点 D，求点 O1 到点 D 的距离解析：由题意，以O为原点，分别以OA，OC，OO1 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，AO1(2,0,2)，B1E(1,0，2)，cosAO1，B1E 22 10 1010.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线AO1与B1E所成角的余弦值为 1010.(2)由题意得O1D AC，AD AC，C(0,3,0)，设D(x，y,0)，则O1D(x，y，2)，AD(x2，
14、y,0)，AC(2,3,0)，2x3y0 x22 y3 解得x1813y1213D(1813，1213，0)|O1D|O1D|2 28613.易错辨析建错空间直角坐标系例 5在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知ABC 的边长为 1，三棱柱的高为 2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA1，AB1，AC1的坐标解析：分别取 BC，B1C1 的中点 D，D1，以 D 为原点，DC，DA，DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则 A(0，32，0)，A1(0，32，2)，B1(12，0,2)，C1(12，0,2)，所以AA1(0,0,2)，AB1(12，32，2)，AC1(12，32，2).【易错警示】易错原因纠错心得建系时，误认为AB与AC垂直，从而以 A 为原点，AB，AC，AA1 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系导致错误在建系时应注意，若图中没有直接建系的条件，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的建系条件.谢谢 观 看
