1、佛山市五校联盟 2022 高考模拟测试高三 数学试卷本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数 z 为复数 z 的共轭复数，且满足02)1(zi，则 z 对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合2|01xAxZx，|11Bxx，则 AB（）A(1,1)B0C 1,2D 1,0,1,23在等差数列 na中,73 a，257aS,则6a()A11B13C14D164.已知2log3a,)2(loglog32b，2log32c则()AcabB
2、bacCcbaDbca5.已知向量,a b 满足|4a，(1,2 2)b，且(2)(3)abab.则向量a和向量b的夹角是()A 6B 3C 23D 566.如图,函数 20,0sinxAxf的图象经过点0,3P和23,0Q,则()A.函数 xfy 的周期为 2B.函数 xfy 的图象关于点0,32中心对称C.函数 xfy 的图象关于直线6x对称D.函数 xfy 在区间12,125单调递增第 6 题图7北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，将地球看作一个球，卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆盖的范围即为一个球冠，称
3、此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得较短的一段叫做球冠的高设球面半径为 R，球冠的高为 h，则球冠的表面积为2SRh已知一颗地球静止同步通信卫星距地球表面的最近距离与地球半径之比为5，则它的信号覆盖面积与地球表面积之比为()第 7 题图A 16B 14C 13D 5128已知抛物线2:2C ypx（0p）的焦点为 F，过焦点且斜率为 2 2 的直线l 与抛物线C 交于 A，B（A 在 B 的上方）两点，若 AFBF，则 的值为（）A 2B3C2D5二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的
4、选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.9新中国成立以来，我国共进行了 7 次人口普查，这 7 次人口普查的城乡人口数据如图所示根据该图数据判断，下列选项中正确的是()第 9 题图A乡村人口数均高于城镇人口数B城镇人口比重的极差是50.63%C城镇人口数达到最高峰是第 7 次 D和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第 6 次10下列命题为真命题的是()A若dcba,，则dbcaB若dcba,，则bdac C若ba，则22bcac D若0,0abc，则 ccab11.已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 a，点 P 为侧面11BC
5、C B 上一点（含边界），点Q 为该正方体外接球球面上一点.则下面选项正确的是()A直线 AP 与平面 ABCD 所成最大角为 4B点Q 到正方体各顶点距离的平方之和为212aC点Q 到点 A 和点1C 的距离之和最大值为(12)aD直线 AP 与直线 BD 所成角范围为,3 2 12.已知函数 1axaxfax的定义域为,0,且 xf仅有一个零点,则下列选项正确的是()A e 是 xf的零点B xf在e,1上单调递增C1x是 xf的极大值点D ef是 xf的最小值三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.在5)2(yx 中，32 yx的系数为_.14“五经”是儒家典籍
6、周易、尚书、诗经、礼记、春秋的合称为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排 1 节，连排 5 节，则诗经、春秋分开排的情况有_种15已知点(1,0)A，(3,0)B，若2PA PB，则点 P 到直线:340lxy的距离的最小值为_.16已知函数21,221,)12ln41)(2xaxxxxxf（，函数在1x处的切线方程为，若该切线与)(xf的图像有三个公共点，则 a 的取值范围是.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知数列 na的前 n 项和为9,11,21aaSn,且)2(2211n
7、SSSnnn.（1）求数列 na的通项公式；（2）已知11nnnaab,求数列 nb的前 n 项和nT.18.（本小题满分 12 分）在 ABC中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若2ba，3ca（1）若5sinsin44cos2ACA，求cos A的值;（2）是否存在正整数 a，使得 ABC为钝角三角形？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由.19.（本小题满分 12 分）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5 局 3 胜制”（即有一支球队先胜 3 局即获胜，比赛结束）在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为(01)pp.（1）若12p，比赛结束时，设甲获胜局
8、数为 X，求其分布列和期望E X；（3）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为)(pf，求)(pf的最大值20.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱111ABCA B C中，侧面11BCC B 是菱形，160BCC，ACAB.（1）证明：1ACBC；（2）若11210ABBBAB，求 二 面 角111ABCB的余弦值.21（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1xyC ab（0ab）的右焦点为(1,0)F，上下顶点分别为1B，2B，以点 F 为圆心1FB 为半径作圆，与 x 轴交于点(3,0)T.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(2,0)P，点 A，B 为椭圆C 上异于点 P 且关于原点
9、对称的两点，直线 PA，PB与 y 轴分别交于点 M，N，记以 MN 为直径的圆为K，试判断是否存在直线l 截K的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由.22（本小题满分 12 分）第 20 题图设函数2ln)1(21)(2axaxaxxf，0a.（1）若1a，求函数)(xf的单调区间和最值；（2）求函数)(xf的零点个数，并说明理由.佛山市五校联盟 2022 高考模拟测试数学答案1A【解析】由(1)20iz，可得：211zii，则有1zi ，从而可得 z 对应的点所在的象限为第一象限.2.B【解析】0,1,2A，|11Bxx，则0AB 3.B【解析】由等差数列基本量法，7
10、213daa，)(710511dada，联立方程可解得2,31da，所以132536a.4A【解析】)1,0(a，0b，1c，则可得：cab.5.C【解析】22(2)(3)325abababa b ，|4,|3ab，所以6a b ，1cos,2|a ba bab ，所以2,3a b.6.D【解析】由图可得1A,20,0sinxAxf的图象经过点0,3P和点23,0Q,23sinA,3.再根据五点法作图,可得33,2,32sinxxf,故函数 xf的周期为 22,故 A 错误；令32x,求得 023 xf,故 B 错误；令6x,求得 23xf,不是最值,故 C 错误；在区间12,125上,2,2
11、32x,函数 xf单调递增,故 D 正确.7.D【解析】如下截面图，若 O 为球心，P 为卫星位置，故 ROAOEOB，hDE，5PER，所以1cos6OAODPOAOPOA，所以16ODR，即56hDER，所以22522564412RRRhRR.8C【解析】：设直线l 的倾斜角为，根据条件可得 tan2 2，则可得1cos3.根据抛物线的焦半径公式1 cospBF，1 cospAF，则可得：1 cos1 cosAFBF，代入条件即可得：2AFBF.9BC10.AD【解析】A.由不等式的性质可知同向不等式可相加，不等式方向不变，A 对.同向不等式相乘的前提是均为正数，负数可以代特殊值检验，B
12、错.当0c时，结论不成立，故 C 错误.用作差比较法，ababcbcac)(，由条件可知0,0,0abcab，所以0 bcac，不等式成立，D 对.11.AB【解析】选项 A，过点 P 作平面 ABCD 的垂线，垂足为 M，PM 最大且 AM 最小时，所求角最大，此时点 P 为点1B，所成角为 4，A 正确；选项 B，因为1AC 为外接球的直径，所以190AQC，2222113QAQCACa，所以点Q 到正方体各顶点距离的平方之和为212a，B 正确；选项 C，122211()3234QACQAQCaQA QCaS，当三角形1QAC 为等腰直角三角形时，点Q 到1AC 的距离最大，此时最大面积
13、为234a，所以1QAQC的最大值为6a，C 错误.选项 D，当点 P 与点 B 重合时，直线 AP 与直线 BD 所成角为 4，故 D 错误；12.ACD【解 析】：令 0axxaxf,即axxa,两 边 取 对 数 得,xaaxlnln,即aaxxlnln有且只有一个解,设 xxxhln,2ln1xxxh,函数 xh在 e,0上单调递增,在,e上单调递减,画出图象如图所示,故eaa1ln或0lnaa,解得ea 或10 a（舍去）,故ea,exxexf,可得 0ef,e 是 xf的零点,故 A 正确；1exexexf,令 01 exexexf,即1exexe,两边取对数xexln11,画 出
14、 函 数11 exy和xyln的 图 象,根 据 图 象 知,当ex,1时,xexln11,故 01 exexexf,函数 xf单调递减；当1,0 x和,e时,01 exexexf,函数 xf单调递增,所以1x是 xf的极大值点,ef是 xf的极小值,又0 x时,1xf,而极小值 10 ef,可得 ef是 xf的最小值.故 B 错误,CD 正确.13.80【解析】80)2(335C.14.72【解析】满足条件的情形共有722433AA种15.103【解析】设点 P 的坐标为(,)x y，根据2PA PB 可得点 P 的轨迹为：22(2)3xy.点(2,0)到直线l 的最短距离为 10，则可得点
15、 P 到直线l 的距离的最小值为 103.16.【答案】：2121xy，)161,23【解析】切点坐标为（1,0），241)(xxf，21)1(fk，所以切线l 方程为2121xy.函数)(xf与直线21x交于点)45,21(a,当切线l 过点)45,21(a时，切线l 与函数有三个公共点，将其代入切线l 方程得23a；当切线l 与函数左半部分的图像相切时直线与函数只有有两个公共点，假设切线l：2121xy与其在0 xx 处相切，2122)(00 xxfk，430 x，所以切点坐标为)1615,43(a，代入切线方程解得161a，因此直线与曲线有三个交点时，16123a.17.【解答】解：（1
16、）由题意知 211nnnnSSSS,则221naann,3 分又212 aa,所以 na是公差为 2 的等差数列,则13211ndnaan；5 分（2）由题知11211321211121321nnnnbn,7 分则1121111211121132171919111121nnnTn10 分18.【解 答】解：（1）5sinsin44cos2CAA；由2cos212sinAA 得25sinsin8sinCAA.2 分由于A是三角形内角，0sinA，故5sin8sinCA3 分由正弦定理有 sinsinacAC，58ca，4 分又2ba，3ca，5,8,7acb，22211cos214bcaAbc5
17、 分（2）假设存在正整数 a，使得ABC为钝角三角形，又因为2ba，3ca，cba，CBA，C为钝角，cos0C，6 分又222cos2abcCab，2ba，3ca，222(2)(3)0aaa7 分2250aa，1616a，8 分又因为 a 为正整数，1,2,3a，10 分当1a 时，3b，4c，此时 abc，故不构成三角形.11 分a2 或 a3.12 分19【解析】（1）（2）由题意可知，随机变量 X 的可能取值为 0、1、2、3，1 分则8121)0(3xP，16321)1(413CxP，16321)2(524CxP21212121)3(5244133CCxP1 分随机变量 X 的分布列
18、如下：X0123P81163163215 分则163321316321631810)(XE；6 分（3）甲队只胜一场的概率为313)1()(ppCpf，7 分则)41()1(3)1()1(3)1()(22313pppppCpf.8 分故当410 p时，0)(pf，)(pf递增；当141 p时，0)(pf，)(pf递减；10 分则2568141)(max fpf.12 分20.【解析】（1）取 BC 中点O，连接1,AO C O，因为侧面11BCC B 是菱形，160BCC，所以1BCC O2 分因为 ACAB，所以 AOBC，且1C OAOO，3 分所以1BCAOC 平面，4 分又因为11AC
19、AOC 平面，所以1ACBC.5 分（2）110AB，则12ABBB，由（1）得1BCAOC 平面，且11ACAOC 平面，所以1BCAC，即111B CAC，所以221111046ACABBB，因为22211336AOC OAC，所以1AOOC，即1,BC OC OA 两两垂直，7 分以1,BC OC OA 所在直线及其正方向建立如图空间直角坐标系，8 分1(0,0,3),(1,0,0),(0,3,0)ABC，1(2,3,0)B，1(1,3,3)A 可取(0,0,1)m 为平面11BC B 的方向量，设平面11A BC 的方向量为(,)nx y z，11(0,3,3),(1,3,0)A BB
20、C，所以33030yzxy，取(3,1,1)n，10 分设二面角111ABCB为，15|cos|cos,|5|5m nm nmn ，11 分所以二面角111ABCB的余弦值为55.12 分21.【解析】（1）以点 F 为圆心1FB 为半径的圆的方程为：222(1)xya.1 分因为该圆经过点(3,0)T，即可得：24a.2 分根据椭圆三个参数间的关系：2223bac.3 分从而可得椭圆C 的方程为22143xy.4 分（2）设 点 A，B 的 坐 标 分 别 为：11(,)x y，11(,)xy，则 直 线 PA 的 方 程 为：11(2)2yyxx，则可得点 M 的坐标为：112(0,)2y
21、x.6 分同理可得点 N 的坐标为112(0,)2yx.7 分则可得以 MN 为直径的圆K的方程为：2111122()()022yyxyyxx.9 分化简可得：222111221124044x yyxyyxx10 分结合椭圆的方程可得：2211443xy，代入上式可得：22113302xxyyy.11 分显然可得，令0y，可得3x 恒成立.据此可知否存在直线:0l y，该直线截K的弦长为定值 2 3.12 分注：学生若没有计算定值的具体值不扣分.22.【解析】（1）函数的定义域为），（01a时，21ln21)(2xxxf.xxxxxf11)(2 1 分令0)(xf，1x；由0)(xf得10 x
22、；由0)(xf得1x.2 分所以，增区间为（0,1），减区间为（1，+）.3 分1x时，函数)(xf有最大值为0)1(f，无最小值.4 分（2）2ln)1(21)(2axaxaxxf，0axaxaxxaaxxf)1()1()(2=xaxx)(1(.5 分令0)(xf，1x（舍）或ax；由0)(xf得ax 0；由0)(xf得ax.所以，增区间为）（a,0，减区间为），（a.函数有唯一的极大值点ax 6 分)ln2121(2ln)1(21)(2aaaaaaaaaaf令aaagln2121(），0a.因为0121(aaag）恒成立，函数）ag(为增函数且01ln21211(）g7 分10 a时，0(
23、）ag，即0(）af函数)(xf一定没有零点.8 分1a时，0(）ag，即0(）af函数)(xf有唯一的零点1x.可见（1）问.9 分1a时，0(）ag，即0(）af2ln)1(21)(2axaxaxxf且0121)211(21ln121)1(22eeeaaeaeeaeef2ln)1(21)(4484aeaeaeefaaaa24)22(21244aaaeeaa1 xe x144ae a，0a所以0)313(212432)(14(21)(24aaaaaefa）在区间,1ae上有唯一零点，在区间,4aea上有唯一零点函数)(xf有两个不同的零点.11 分综上所述：10 a时，函数)(xf一定没有零点.1a时，函数)(xf有唯一的零点.1a时，函数)(xf有两个不同的零点.12 分
