1、河南省商丘市第一高级中学2017届高三开学摸底考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，集合，则等于（ ）A B C D【答案】C考点：（1）一元二次不等式的解；（2）集合的运算.2.已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可能是（ ）A-2 B1 C2 D3【答案】A【解析】试题分析：由，由于对应的点在第四象限，故，得，故选项为A.考点：复数的意义.3.已知角的终边过点，则等于（ ）A B C-5 D5【答案】B【解析】试题分析：由角的终边过点，故，则，故选项为B.考点：（1）三角
2、函数的定义；（2）两角和的正切.14.已知点，若，则实数等于（ ）A1 B C2 D【答案】D考点：向量的坐标运算.5.如图是一个程序框图，则输出的的值是（ ）A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】试题分析：，第一次执行循环后，不满足退出循环的条件，第二次执行循环后，不满足退出循环的条件，第三次执行循环后，不满足退出循环的条件，第四次执行循环后，满足退出循环的条件，故输出的值为，故选：B.考点：程序框图.【方法点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题对于循环结构的程序框图当循环次数较少时，逐次研究它的执行情况，当循环次数很多时，应找到它
3、的循环规律，在该题中由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案6.已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A考点：双曲线的性质.7.已知等差数列的前项和为，且在区间内任取一个实数作为数列的公差，则的最小值仅为的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由等差数列的前项和知，对称轴，的最小值仅为，等价于，即，解得，故其概率为，故选项为D.考点：（1）等差数列的前项和；（2）几何概型.【方法点睛】本题主要考查了等差
4、数列的前项和公式与二次函数之间的关系以及几何概型，转化与化归思想，综合性较强，难度适中；首先将等差数列的前项和用首项和公差表示且表示成关于含有参数的一元二次函数，由的最小值仅为易知其对称轴在之间，可以解得公差的取值范围，根据几何概型定义得解.8.已知函数，设，且，则的最小值为（ ）A4 B2 C D【答案】D考点：（1）分段函数的性质；（2）基本不等式.9.如图是某几何体的三视图，图中圆的半径均为1，且俯视图中两条半径互相垂直，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】C考点：由三视图求几何体的体积.10.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象若函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范
5、围是（ ）A B C D【答案】A111【解析】试题分析：由得，由,得，故其增区间为，故，解得，故选项为A.考点：（1）三角函数的图象变换；（2）三角函数的性质.11.如图，在直三棱柱中，过的中点作平面的垂线，交平面于，则与平面所成角的正切值为（ ）A B C D【答案】C考点：直线与平面所成的角.12.设点和点分别是函数和图象上的点，且若直线轴，则两点间的距离的最小值为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】试题分析：由轴得，所以，故两点间的距离为，设，则，当时，故函数在上单调递增，则，故函数在上单调递增，则，故选项为B.考点：函数的单调性.1【方法点晴】本题考查了函数的单调性与导数的
6、关系，函数性质的综合应用以及转化与化归思想，综合性强，难度较大；首先将转化为两者函数值相等，即，将两点间的距离转化为，最后转化为求函数的最小值，利用导数判断其单调性，在判断导函数与的关系时，难度在于对其进行二次求导.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.的展开式的常数项为_【答案】考点：二项式系数的性质.14.在数列中，且数列是等比数列，则_【答案】【解析】试题分析：由数列是等比数列，故公比，故数列是以为首项，为公比的等比数列，即，解得，故答案为.考点：等比数列的性质.15.如果实数满足条件，且的最小值为6，则_【答案】考点：简单的线性规划.16.已知
7、等腰梯形的顶点都在抛物线上，且，则点到抛物线的焦点的距离是_【答案】考点：抛物线的性质.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且（1）若，求；（2）若，且的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）.【解析】111.Com试题分析：（1）利用正弦定理将边化为角，即，利用两角和的正弦化简可求得，再次运用正弦定理得结果；（2）用三角形面积公式得，在利用余弦定理得，可得最后结果.试题解析：（1），1分即，2分，则，4分，5分考点：（1）正弦定理；（2）三角形面积公式；（3）两角和与差的正余弦.【方法点晴】本题主要
8、考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及两角和的正弦公式，注重对基础的考查，属于高考中的高频考点，难度一般；在三角函数化简中，主要运用正弦定理和余弦定理进行边角之间的互化，在运用三角形面积计算公式时，应根据已知的角确定选择三个式子中的具体一个，同时根据该角运用余弦定理结合完全平方式综合运用.118.（本小题满分12分）在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次在处每投进一球得3分；在处每投进一球得2分如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次某同学在处的投中率，在处的投中率为.该同学选择先在处投一球，以后都在处投，且每次投篮都互不影响.用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布
9、列为：023450.03（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望；（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在处投篮得分超过3分的概率的大小【答案】（1）；（2）；（3）都在处投篮得分超过分的概率大.（2）当时，3分当时，4分当时， 5分当时，6分所以随机变量的分布列为023450.030.240.010.480.24随机变量的数学期望：8分（3）该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率为10分该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为所以该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率大12分考点：（1）古典概型及其概率计算公式；（2）离散型随机变量的均值与方差.【方法点晴】本小题主要考
10、查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识体现数学的科学价值解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，（1）在上确定一点，使得平面，并求的值；（2）在（1）条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）连接交于，在中，过作交于，2分平面平面，平面，3分，5分（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，6
11、分设平面的一个法向量为，则111，即，令，则，8分取的中点为，连接，又平面，则平面，9分即是平面的一个法向量，10分，11分平面与平面所成锐二面角的余弦值为12分考点：（1）线面平行性质定理；（2）空间向量在立体几何中的应用.120.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于，两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点【答案】（1）；（2）直线过定点.试题解析：（1）椭圆过点， ，1分，则，3分，由得，4分椭圆的方程为5分（2）当直线的斜率不存在时 ，设，则，由得，得6分当直线
12、的斜率存在时，设的方程为，得，8分，即，由，10分即故直线过定点12分考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与圆锥曲线的综合.21.（本小题满分12分）已知函数，且（1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（2）设函数，当时，恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）因为函数在区间上是减函数，则，即在上恒成立2分当时，令得，若，则，解得；若，则，解得4分综上，实数的取值范围是5分（2）令，则，根据题意，当时，恒成立7分所以当时，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意9分考点：（1）函数的导数与单调性之间的关系；（2）恒成立问题.【方法点晴】本题考查导数的运用：求单
13、调区间和极值、最值，同时考查不等式的恒成立转化为求函数的最值问题以及数形结合在二次函数中的应用，正确求导是解题的关键函数单调递增等价于恒成立，在正确求导的基础上，利用导数与的关系得到函数的单调区间，对导函数零点与所给区间的关系进行讨论，变为含有参数的一元二次不等式的解，也是在高考中的必考内容也是基础内容；请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线与圆切于点，过作直线与圆交于两点，点在圆上，且（1）求证：；（2）若，求【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）解：，则，7分，即，9分1
14、0分考点：（1）与圆有关的比例线段；（2）圆内接多边形的性质与判定.【易错点晴】本题主要考查的是圆的内接四边形的判定定理、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等和割线定理，属于中档题解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）（1）直线过且与曲线相切，求直线的极坐标方程；（2）点与点关于轴对称，求曲线 上的点到点的距离的取值范围【答案】（1）
15、或；（2）.【解析】试题分析：（1）将点及曲线化为普通方程，将直线设为点斜式，利用圆心到直线的距离等于半径得的值，在利用化为极坐标方程；（2）圆外的点到圆上距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，最小值为圆心到直线的距离减去半径得解试题解析：（1）由题意得点的直角坐标为，曲线的一般方程为，2分设直线的方程为，即3分直线过且与曲线相切，4分即，解得或，5分直线的极坐标方程为或6分考点：（1）参数方程，极坐标方程，普通方程的互化；（2）点到直线的距离.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数（1）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式得，结合对数不等式及绝对值不等式可得结果；（2）对绝对值函数进行分类讨论得，不等式有解等价于函数的图象与直线有两个交点，即得解.试题解析：（1）由绝对值的性质得：，2分对任意恒成立，解得，4分，实数的取值范围是5分考点：（1）绝对值不等式；（2）恒成立问题.
