1、6平面向量的应用6.1余弦定理与正弦定理一、余弦定理(15分钟30分)1.在ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,A=60,b=1,三角形的面积为,则a=()A.2B.C.2D.【解析】选D.依题意S=bcsin A=1csin 60=,解得c=4,由余弦定理得a=.【补偿训练】在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30,ABC的面积是,则b=()A.1+ B. C. D.2+【解析】选A.由已知S=acsin B=acsin 30=ac=,得ac=6,所以b2=a2+c2-2accos 30=(a+c)2-2ac-ac=4b2-6(2+),解得b=+1.2
2、.满足A=60,c=1,a=的ABC的个数记为m,则am的值为()A.3B.C.1D.不确定【解析】选B.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即3=b2+1-b,解得b=2或b=-1(舍去),所以满足条件的ABC只有一个,即m=1,所以am=.3.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,bc=a2,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.由b2+c2=a2+bc,可得b2+c2-a2=bc,故cos A=,因为0A,所以A=.又因为bc=a2,所以b2+c2=2bc,即(b-c)2=0,即b
3、=c,所以ABC为等边三角形.4.已知ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,a=2,B=60,则边c=.【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=4+c2-2c=12,解得c=-2(舍去)或c=4.答案:45.在ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是.【解析】cos B=+,因为0B,所以B.答案:6.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=c2+3ab.(1)求C的值;(2)若ABC的面积为,c=,求a,b的值.【解析】(1)将等式(a+b)2=c2+3ab变形为a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos
4、C=,因为0C,故C=.(2)由题意有整理得解得或(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.钝角ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1【解析】选B.由面积公式得sin B=,解得sin B=,所以B=45或B=135,当B=45时,由余弦定理得AC2=1+2-2cos 45=1,所以AC=1,又因为AB=1,BC=,所以此时ABC为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以B=135,由余弦定理得AC2=1+2-2cos 135=5,所以AC=.2.ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.设向量p=, q=.若pq,则C=()A.B.C.D.【
5、解析】选B.因为向量p=,q=,pq,所以-b=0,整理得b2+a2-c2=ab.所以cos C=,解得C=.3.在ABC中,a2+b2+c2=2bccos A+2accos B,则ABC一定是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解析】选C.因为a2+b2+c2=2bccos A+2accos B,所以a2+b2+c2=2bc+2ac所以a2+b2+c2=b2+c2-a2+a2+c2-b2=2c2,即a2+b2=c2,所以ABC一定是直角三角形.4.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是()A.(2,4)B.(2.5,3.5)C.(2,)D.(2,4)【解
6、析】选C.只需让3和a所对的角均为锐角即可,故解得2a.【误区警示】本题容易默认a为最大边,从而造成错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos A=bcos B,且c=2,sin C=,下列可以是ABC面积的为()A.3B.C.D.6【解析】选AC.因为在ABC中,acos A=bcos B,所以由余弦定理得a=b,整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0,即a=b或C=(舍去).因为c=2,sin C=,a=b,所以cos C=,即=,
7、解得a=b=或a=b=.当a=b=时,SABC=absin C=3;当a=b=时,SABC=absin C=.6.若ABC为钝角三角形,且a=2,b=3,则边c的长可能为()A.2B.3C.D.4【解析】选AD.由三角形的边长能构成三角形,有1c5,又ab,所以在ABC中钝角可能为角B或角C.则cos B=0或cos C=0,所以4+c2-90或4+9-c20,解得1c或c5,所以选项A,D满足.【光速解题】本题直接求解略显复杂,可以直接利用余弦定理验证即可.本题A选项较易验证cos B=-0,故最大角C为锐角,从而ABC为锐角三角形,故此选项不符合题意;D选项不需要验证即可判断(多选题至少有
8、两项满足,则D项必定成立).三、填空题(每小题5分,共10分)7.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=b,cos B=cos C,a=,则SABC=.【解题指南】先根据余弦定理得b2+c2=a2,再根据直角三角形求结果.【解析】因为cos B=cos C,所以=,结合c=b,化简得a=b,从而有b2+c2=a2,即ABC为直角三角形,将c=b,a=代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=,所以SABC=bc=.答案:【补偿训练】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=,c=2,则ABC面积的最大值为.【解析】由C=及c=2可得4=a2+b2-2abcos,即a
9、2+b2-ab=4,由不等式a2+b22ab可得2ab-ab4,即ab4,当且仅当a=b=2时取等号.所以S=absin C=ab4=,故ABC面积的最大值为.答案:8.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+bccos C的值是.【解析】因为cos A=,所以bccos A=(b2+c2-a2),同理accos B=(a2+c2-b2),abcos C=(a2+b2-c2),所以bccos A+accos B+abcos C=(a2+b2+c2)=.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.设向量m=,n=(b-2,a-
10、2),在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且2c2=(2b-a)b+(2a-b)a.(1)求角C;(2)若mn,边长c=2,求ABC的周长l和面积S的值.【解析】(1)由已知可得c2=b2+a2-ab,所以cos C=,所以C=.(2)由题意可知mn,可得a+b=0,所以a+b=ab,由余弦定理可知4=a2+b2-ab=-3ab,则-3-4=0,即a+b=4,故周长为4+2=6,面积S=absin C=4sin=.10.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2acos B.(1)判断ABC的形状;(2)若c=1,C=,求ABC的面积.【解析】(1)因为c=2acos
11、 B,所以c=2a,所以a2+c2-b2=c2,即a2=b2,所以a=b,ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=b,所以cos C=,解得a2=2+,所以SABC=absin C=a2sin C=.1.在ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cosCDB=-,则下列说法错误的是()A.ABC的面积为8B.ABC的周长为8+4C.ABC为钝角三角形D.sinCDB=【解析】选D.设CD=a,则BC=2a,在BCD中,BC2=CD2+BD2-2BDCDcosCDB,解得a=,所以SDBC=BDCDsinCDB=3=3,所以SABC=SDBC=8,故A正确;因为ADC=-
12、CDB,所以cosADC=cos(-CDB)=-cosCDB=,在ADC中,AC2=AD2+CD2-2ADDCcosADC,解得AC=2,所以CABC=AB+AC+BC=+2+2=8+4,故B正确;因为AB=8为最大边,所以cos C=-0,即C为钝角,所以ABC为钝角三角形,故C正确.因为cosCDB=-,所以sinCDB=,故D错误.2.如图,ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).(1)若c=5,求sin A的值;(2)若A为钝角,求c的取值范围.【解析】(1)因为A(3,4),B(0,0),所以AB=5,当c=5时BC=5,所以AC=2.由余弦定理知cos A=.因为0A,所以sin A=.(2)因为A(3,4),B(0,0),C(c,0),所以AC2=(c-3)2+42,BC2=c2,由余弦定理得cos A=.因为A为钝角,所以cos A0,即AB2+AC2-BC20,所以52+(c-3)2+42-c2=50-6c,故c的取值范围为.
