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广东省汕头市2020届高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析).doc

上传人:高**** 文档编号:521129 上传时间:2024-05-28 格式:DOC 页数:22 大小:1.21MB
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1、广东省汕头市2020届高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)一、选择题.1.已知集合Ax|1x4,Bx|0,则AB( )A. x|2x4B. x|2x4C. x|1x2D. x|1x2【答案】D【解析】【分析】先求出集合A,B,由此能求出AB.【详解】集合Ax|1x4,Bx|0x|0x2,ABx|1x2.故选:D.【点睛】本题主要考查集合的交集运算,求出集合的最简形式是解题的关键.2.下列各式的运算结果虚部为1的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简即可求解.【详解】对于A,虚部为;对于B,虚部为;对于C,虚部为;对于D,虚部为1;故选:D【点睛】本

2、题主要考查了复数的四则运算,需熟记,属于基础题.3.若实数x,y满足,则y2x的最大值是( )A. 9B. 12C. 3D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【详解】由实数x,y满足,作出可行域如图,令zy2x,化为y2x+z,联立,解得A(3,6).由图可知,当直线过A时,y2x有最大值为12.故选:B.【点睛】本题主要考查利用线性规划知识求解最值,作出可行域,找到最优解是求解的关键,侧重考查直观想象的核心素养.4.近年来,随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切,中

3、国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多,如图是20132018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况,则下列说法正确的是( )20132018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加20132018年这6年中,2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小20162018年这3年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据折线图,分析图中的数据逐一判断即可.【详解】由图中折线逐渐上升,即每年游客人次逐渐增多,故正确;由图在2014年中折线比较平缓,即2014年中游客人次增幅最小,故正确;根据图像在2016

4、2018年这3年中,折线的斜率基本相同,故每年的增幅基本持平,故正确;故选:A【点睛】本题考查了折线图,考查了统计与推理,属于基础题.5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在0,+)上单调递减,f(2)0,则不等式f(log2x)0的解集为( )A. (,4)B. (2,2)C. (,+)D. (4,+)【答案】A【解析】【分析】根据题意,由函数f(x)的奇偶性与f(2)0可得f(log2x)0f(|log2x|)f(2),结合函数f(x)的单调性分析可原不等式等价于|log2x|2,解可得x的取值范围,即可得答案.【详解】根据题意,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2)0,则f(

5、log2x)0f(|log2x|)f(2),又由f(x)在0,+)上单调递减,f(|log2x|)f(2)|log2x|2,变形可得:2log2x2,解得:x2,不等式的解集为(,2);故选:A.【点睛】本题主要考查函数的性质,利用函数的性质求解不等式,通常利用数形结合的方法求解,侧重考查数学抽象的核心素养.6.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则的单调递减区间是( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【解析】【详解】由题设可知该函数的最小正周期,结合函数的图象可知单调递减区间是,即,等价于,应选答案D点睛:解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数 的图

6、象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”结合图像很容易观察出最小正周期是,进而数形结合写出函数的单调递减区间,从而使得问题获解7.“今有城,下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺”这是我国古代数学名著九章算术卷第五中“商功”中的问题意思为“现有城(如图,等腰梯形的直棱柱体),下底长4丈,上底长2丈,高5丈,纵长126丈5尺(1丈=10尺)”,则该问题中“城”的体积等于( )A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺【答案】A【解析】【分析】求出棱柱底边梯形的面积,利用棱柱的体积公式即可求解.【详解】(立方尺),故选:A【点睛】本题考查了棱柱的体积公式,需熟记柱体的体积公式

7、,属于基础题.8.已知四边形ABCD为平行四边形,M为CD中点,则( )A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则可得,再利用向量数量积的运算即可求解.【详解】 .故选:A【点睛】本题考查了向量的加、减、数乘以及数量积的运算,需掌握三角形法则,属于基础题.9.ABC中,角A,B,C所对应的分别为a,b,c,且(a+b)(sinAsinB)(cb)sinC,若a2,则ABC的面积的最大值是( )A. 1B. C. 2D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知利用正弦定理可得a2b2+c2bc,由余弦定理可得cosA,可求A的值;再利用余弦定理,基本不等式可求bc4

8、,利用三角形的面积公式即可求解.【详解】由(a+b)(sinAsinB)(cb)sinC,利用正弦定理可得:(a+b)(ab)(cb)c,即a2b2+c2bc,所以由余弦定理可得:cosA,而A(0,),所以A;因为a2,所以可得:4b2+c2bc2bcbcbc,即bc4,当且仅当bc2时,取等号,所以SABCbcsinA4,即ABC面积的最大值为.故选:B.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形,三角形面积的最值问题一般利用基本不等式进行求解,侧重考查数学运算的核心素养.10.在(x2x2)5的展开式中,x3的系数为( )A. 40B. 160C. 120D. 200【答案】C

9、【解析】【分析】先把(x2x2)5变形为(x+1)5(x2)5,再利用二项式定理中的通项公式求出结果.【详解】(x2x2)5(x+1)5(x2)5,x3的系数为.故选:C.【点睛】本题主要考查二项式定理,利用二项式定理展开式求解特定项的系数时,注意项的来源,侧重考查数学运算的核心素养.11.体积为的三棱锥ABCD中,BCACBDAD3,CD2,AB2,则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 20B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由体积可得AB的值,进而求出底面外接圆的半径,及D到底面的高,由题意求出外接球的半径,进而求出外接球的表面积.【详解】取CD的中点E,连接AE,BE,因为BCA

10、CBDAD3,所以AECD,BECD,AEBEE,所以CD平面ABE,且AEBE=2, 所以因为VABCD,所以,因为AB2,所以,即AB2;在中,所以它的外接圆的圆心在三角形外部,即在的延长线上.取的中点,由图形的特征可知外接球的球心一定在平面内,且在的延长线上,如图,设球的半径为,在中,;在中,;在正三角形中,即.解得,所以外接球的表面积.故选:B.【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题,几何体的外接球问题求解的关键是确定球心的位置,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.12.若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|的

11、最大值为0,则称f(x)为“柯西函数”,则下列函数:f(x)x(x0);f(x)lnx(0x3);f(x)cosx;f(x)x21.其中为“柯西函数”的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由“柯西函数”得函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得、共线,即存在点A、B与点O共线,分别判断即可.【详解】对由柯西不等式得:对任意实数x1,y1,x2,y2:|x1x2+y1y2|恒成立(当且仅当存在实数k,使得x1kx2,y1ky2取等号),若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件:|

12、x1x2+y1y2|的最大值为0,则函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得、共线,即存在点A、B与点O共线.设AB的方程为ykx,由,得,不可能存在两个正数解,故不是柯西函数; 对于,由得,令,由得,此时为增函数;由得,此时为减函数,所以有极大值;当时,当时,所以当时,有两个不同的交点,故是柯西函数;对于,取A(0,0),点B任意,均满足定义,故是柯西函数对于取A(1,0),B(1,0),均满足定义,故是柯西函数故选:C.【点睛】本题主要考查函数的性质,理解新定义的本质是求解的关键,侧重考查数学抽象的核心素养.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分

13、.13.曲线f(x)x2ex在点(1,f(1)处的切线方程为_.【答案】xey0【解析】【分析】先求出函数的导数,然后再求出切点处函数值、导数值,最后代入点斜式得切线方程.【详解】,故切线为:,即xey0.故答案为:xey0【点睛】本题主要考查导数的几何意义,利用导数求解曲线的切线方程,明确切点处的导数值是切线的斜率是求解关键,侧重考查数学抽象的核心素养.14.若双曲线两个顶点三等分焦距,则该双曲线的渐近线方程是_.【答案】【解析】【分析】由题意知,渐近线方程是,再据,得出与的关系,代入渐近线方程即可【详解】双曲线 的两个顶点三等分焦距,又,渐近线方程是,故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性

14、质即双曲线 的渐近线方程为属于基础题15.“新冠肺炎”爆发后,某医院由甲、乙、丙、丁、戊5位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情.五位医生去乘高铁,按规定每位乘客在进站前都需要安检,当时只有3个安检口开通,且没有其他旅客进行安检.5位医生分别从3个安检口进行安检,每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检,则甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求基本事件总数n540,再求甲、乙2位医生在同一个安检口进行安检包含的基本事件个数m32135,由此能求出甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率.【详解】每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为

15、不同的安检,基本事件总数n540,甲、乙2位医生在同一个安检口进行安检包含的基本事件个数m32135,则甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率为P11.故答案为:.【点睛】本题主要考查古典概率的求解,利用排列知识求出总的基本事件空间是求解关键,侧重考查数学运算的核心素养.16.直线l:xty+10(t0)和抛物线C:y24x相交于不同两点A、B,设AB的中点为M,抛物线C的焦点为F,以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N,且满足|MN|NF|,则直线l的方程为_.【答案】xy+10【解析】【分析】求得抛物线的焦点F,联立直线l和抛物线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标,设N(

16、ty01,y0),由NFl,结合两直线垂直的条件,可得t,y0的关系式,再由两点的距离公式,化简整理可得t,可得所求直线方程.【详解】y24x的焦点为F(1,0),联立xty+10与y24x,可得y24ty+40,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y24t,则中点M(2t21,2t),设N(ty01,y0),由NFl,可得t,即有y0,由|MN|NF|可得,即为,结合,整理可得t627,解得t,可得直线l的方程为xy+10.故答案:xy+10.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的关系,联立方程结合韦达定理及两点间距离公式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共70分

17、,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知Sn为数列an的前n项和,且Sn+22an,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn,设数列bn的前项和为Tn,若Tn,求n的最小值.【答案】(1)an2n(2)10【解析】【分析】(1)由数列an的前n项和与项满足Sn+22an,nN*.消掉Sn可得数列an是等比数列,进而求数列an的通项公式.(2)由(1)得数列bn的通项公式,裂项求和算出Tn1,再由Tn,解整数不等式可求n的最小值.【详解】(1)当n1时,S1+22

18、a1,解得a12,当n2时,Sn1+22an1,Sn+2(Sn1+2)2an2an1,即an2an12,则an是以2为首项,2为公比的等比数列.故an2n.(2)由(1)可得bnTnb1+b2+bn(1)+()+()1,又Tn,即1,2n+12021,由于nN,n10,故n的最小值为10.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解及裂项求和,由求注意使用公式,数列求和时一般根据数列通项公式的特点选择合适的方法进行求解.18.在四棱锥PABCD中,平面PAC平面ABCD,且有ABDC,ACCDDAAB.(1)证明:BCPA;(2)若PAPCAC,求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.【答案

19、】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)设AB2a,则ACCDDAa,推导出,由余弦定理得BC,由勾股定理得BCAC,从而BC平面PAC,由此能证明BCPA.(2)设AC2,取AC中点O,连结PO,则POAC,PO,推导出PO平面ABCD,以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,过C作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.【详解】(1)证明:设AB2a,则ACCDDAa,ACD是等边三角形,ABDC,由余弦定理得:3a2,BC,BC2+AC2AB2,BCAC,平面PAC平面ABCDAC,BC平面ABCD,BC平面PAC,

20、PA平面PAC,BCPA.(2)解:设AC2,取AC中点O,连结PO,则POAC,PO,平面PAC平面ABCD,PO平面ABCD,以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,过C作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则C(0,0,0),B(0,2,0),P(1,0,),A(2,0,0),D(1,0),(1,0,),(1,0),(1,0,),(0,2,0),设平面PAD的法向量(x,y,z),则,取z1,得(),设平面PBC的法向量(a,b,c),则,取a,得(),设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为.则cos.平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查空间

21、直线和直线垂直及二面角的求解,线线垂直一般转化为线面垂直进行证明,二面角一般通过法向量进行求解,侧重考查逻辑推理及数学运算的核心素养.19.为评估设备生产某种零件性能,从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本,测量其直径后,整理得到下表:经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.(I)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行判定(表示相应事件的概率):;.判定规则为:若同时满足上述三个式子,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为了.试判断设备的性能等级.()将

22、直径尺寸在之外零件认定为是“次品”.从设备的生产流水线上随机抽取2个零件,求其中次品个数的数学期望;从样本中随意抽取2个零件,求其中次品个数的数学期望.【答案】(I)丙级;();.【解析】【分析】(I)以频率值作为概率计算出相应概率,再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级()先根据题意将次品件数求出根据题意知,这种抽取实验是服从二项分布的,根据二项分布的期望公式可求出根据古典概型求概率的公式,可以求出的每种取值的概率,进而求出【详解】(I),由图表知,所以该设备的级别为丙级. ()从设备的生产流水线上任取一件,取到次品的概率是,依题意,故.从100件样品中任取2件,次品数的可能取值为0

23、,1,2,故.【点睛】对于()问题是二项分布(次独立重复试验中,事件A发生的次数 ,其期望为)利用公式得出20.已知椭圆C的中心在坐标原点O,其右焦点为F(1,0),以坐标原点O为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线xy0的相切.(1)求椭圆C的方程;(2)经过点F的直线l1,l2分别交椭圆C于A、B及C、D四点,且l1l2,探究:是否存在常数,使恒成立.【答案】(1);(2)存在常数使得恒成立,详见解析.【解析】分析】(1)根据点到直线的距离可以求出短半轴长b,因为焦点已知,所以c1,根据a2b2+c2可以求得a2,从而确定椭圆的方程;(2)分两类,l1,l2中一条斜率不存在,l1,l2的斜率

24、存在且不为0,分别来探索常数的值,其中在情形中,需要设l1:xty+1(t0),然后联立直线方程和椭圆的方程,消去x得到关于y的方程,再利用弦长公式分别求出|AB|和|CD|,并代入到化简即可得解.【详解】(1)设所求的椭圆方程为,点O到直线xy0的距离为,又c1,a2b2+c24,故所求椭圆C的方程为.(2)假设存在常数,使恒成立,则,当l1,l2中一条斜率不存在时,可知|AB|,|CD|其中一个长为2a4,另一个为,此时,当l1,l2的斜率存在且不为0时,不妨设l1:xty+1(t0),A(ty1+1,y1),B(ty2+1),联立得(3t2+4)y2+6ty90,36t24(3t2+4)

25、(9)144(t2+1)0,用代替上式中的t可得,综上所述,存在常数使得恒成立.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的定值问题,椭圆的方程的求解关键是确定的值,定值问题一般结合目标式及韦达定理进行化简变形求解,侧重考查数学运算的核心素养.21.已知函数f(x)x2+ax+lnx(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2且|x1x2|,求|f(x1)f(x2)|的最大值.【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)【解析】【分析】(1)求导可得,再分,讨论与0的大小关系,进而得出单调性情况;(2)表示出,构造函数,利用导数求其最大值即可.【详解】(1),

26、设(x)x2+ax+1,则(0)10,对称轴为,当,即a0时,在(0,+)上,0,f(x)是增函数;当,即a0时,a240得a2,(i)当2a0时,在(0,+)上,0,f(x)是增函数;(ii)当a2时,令0得,在上,0,f(x)是增函数;在上,0,f(x)是减函数;(2)由(1)知,f(x)得两个极值点x1,x2满足x2+ax+10,故x1+x2a,x1x21,不妨设0x11x2,则f(x)在(x1,x2)上是减函数,令,设函数,则,h(t)在(1,+)上为增函数,由,则,解得1x22,故,|f(x1)f(x2)|的最大值为.【点睛】本题主要考查函数单调性的判定及最值的求解,单调性一般是利用

27、导数与0的大小进行判定,含有参数时一般要进行分类讨论,函数最值一般利用导数结合单调性或极值进行求解,侧重考查数学抽象的核心素养.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-4:坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为:(为参数,已知直线,直线以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系(1)求曲线C以及直线,的极坐标方程;(2)若直线与曲线C分别交于O、A两点,直线与曲线C分别交于O、B两点,求的面积【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)根据题意消参求出曲线C的直线坐标方程,然后利用,即可求解. (2

28、)把代入曲线C的极坐标方程,得出;同理,把代入曲线C的极坐标方程,得出,再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)依题意,由曲线C的参数方程(为参数)消参得,故曲线C的普通方程为由,得曲线C的极坐标方程为,的极坐标方程为,(2)把代入,得,所以,把代入,得,所以,所以【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化、直线与曲线相交时的极坐标方程的解法、三角形的面积公式,属于基础题.选修4-5:不等式选讲23.设函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若,证明【答案】(1)或(2)见解析【解析】【分析】(1)将代入,分类讨论去掉绝对值符号,解不等式组,求并集即可.(2)利用绝对值三角不等式以及不等式的性质即可求解.【详解】解:(1)当时,则解得,即或则所求不等式的解集为或(2)由已知,则所以得证【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及不等式的性质,属于基础题.

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