1、广东省汕头市2020届高三数学第一次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题.1.已知集合Ax|1x4，Bx|0，则AB（ ）A. x|2x4B. x|2x4C. x|1x2D. x|1x2【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出AB.【详解】集合Ax|1x4，Bx|0x|0x2，ABx|1x2.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，求出集合的最简形式是解题的关键.2.下列各式的运算结果虚部为1的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简即可求解.【详解】对于A，虚部为；对于B，虚部为；对于C，虚部为；对于D，虚部为1；故选：D【点睛】本
2、题主要考查了复数的四则运算，需熟记，属于基础题.3.若实数x，y满足，则y2x的最大值是（ ）A. 9B. 12C. 3D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】由实数x，y满足，作出可行域如图，令zy2x，化为y2x+z，联立，解得A（3，6）.由图可知，当直线过A时，y2x有最大值为12.故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划知识求解最值，作出可行域，找到最优解是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.4.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中
3、国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是20132018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（ ）20132018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加20132018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小20162018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据折线图，分析图中的数据逐一判断即可.【详解】由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故正确；由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故正确；根据图像在2016
4、2018年这3年中，折线的斜率基本相同，故每年的增幅基本持平，故正确；故选：A【点睛】本题考查了折线图，考查了统计与推理，属于基础题.5.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在0，+）上单调递减，f（2）0，则不等式f（log2x）0的解集为（ ）A. （，4）B. （2，2）C. （，+）D. （4，+）【答案】A【解析】【分析】根据题意，由函数f（x）的奇偶性与f（2）0可得f（log2x）0f（|log2x|）f（2），结合函数f（x）的单调性分析可原不等式等价于|log2x|2，解可得x的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2）0，则f（
5、log2x）0f（|log2x|）f（2），又由f（x）在0，+）上单调递减，f（|log2x|）f（2）|log2x|2，变形可得：2log2x2，解得：x2，不等式的解集为（，2）；故选：A.【点睛】本题主要考查函数的性质，利用函数的性质求解不等式，通常利用数形结合的方法求解，侧重考查数学抽象的核心素养.6.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则的单调递减区间是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【详解】由题设可知该函数的最小正周期，结合函数的图象可知单调递减区间是，即，等价于，应选答案D点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数 的图
6、象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”结合图像很容易观察出最小正周期是，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解7.“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺”这是我国古代数学名著九章算术卷第五中“商功”中的问题意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ）A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺【答案】A【解析】【分析】求出棱柱底边梯形的面积，利用棱柱的体积公式即可求解.【详解】（立方尺），故选：A【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，需熟记柱体的体积公式
7、，属于基础题.8.已知四边形ABCD为平行四边形，M为CD中点，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则可得，再利用向量数量积的运算即可求解.【详解】 .故选：A【点睛】本题考查了向量的加、减、数乘以及数量积的运算，需掌握三角形法则，属于基础题.9.ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且（a+b）（sinAsinB）（cb）sinC，若a2，则ABC的面积的最大值是（ ）A. 1B. C. 2D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知利用正弦定理可得a2b2+c2bc，由余弦定理可得cosA，可求A的值；再利用余弦定理，基本不等式可求bc4
8、，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】由（a+b）（sinAsinB）（cb）sinC，利用正弦定理可得：（a+b）（ab）（cb）c，即a2b2+c2bc，所以由余弦定理可得：cosA，而A（0，），所以A；因为a2，所以可得：4b2+c2bc2bcbcbc，即bc4，当且仅当bc2时，取等号，所以SABCbcsinA4，即ABC面积的最大值为.故选：B.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，三角形面积的最值问题一般利用基本不等式进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.10.在（x2x2）5的展开式中，x3的系数为（ ）A. 40B. 160C. 120D. 200【答案】C
9、【解析】【分析】先把（x2x2）5变形为（x+1）5（x2）5，再利用二项式定理中的通项公式求出结果.【详解】（x2x2）5（x+1）5（x2）5，x3的系数为.故选：C.【点睛】本题主要考查二项式定理，利用二项式定理展开式求解特定项的系数时，注意项的来源，侧重考查数学运算的核心素养.11.体积为的三棱锥ABCD中，BCACBDAD3，CD2，AB2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 20B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由体积可得AB的值，进而求出底面外接圆的半径，及D到底面的高，由题意求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】取CD的中点E，连接AE，BE，因为BCA
10、CBDAD3，所以AECD，BECD，AEBEE，所以CD平面ABE，且AEBE=2， 所以因为VABCD，所以，因为AB2，所以，即AB2；在中，所以它的外接圆的圆心在三角形外部，即在的延长线上.取的中点，由图形的特征可知外接球的球心一定在平面内，且在的延长线上，如图，设球的半径为，在中，;在中，；在正三角形中，即.解得，所以外接球的表面积.故选：B.【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题，几何体的外接球问题求解的关键是确定球心的位置，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.12.若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的
11、最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：f（x）x（x0）；f（x）lnx（0x3）；f（x）cosx；f（x）x21.其中为“柯西函数”的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线，分别判断即可.【详解】对由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2|恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1kx2，y1ky2取等号），若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|
12、x1x2+y1y2|的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线.设AB的方程为ykx，由，得，不可能存在两个正数解，故不是柯西函数； 对于，由得，令，由得，此时为增函数；由得，此时为减函数，所以有极大值；当时，当时，所以当时，有两个不同的交点，故是柯西函数；对于，取A（0，0），点B任意，均满足定义，故是柯西函数对于取A（1，0），B（1，0），均满足定义，故是柯西函数故选：C.【点睛】本题主要考查函数的性质，理解新定义的本质是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13、.13.曲线f（x）x2ex在点（1，f（1）处的切线方程为_.【答案】xey0【解析】【分析】先求出函数的导数，然后再求出切点处函数值、导数值，最后代入点斜式得切线方程.【详解】，故切线为：，即xey0.故答案为：xey0【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解曲线的切线方程，明确切点处的导数值是切线的斜率是求解关键，侧重考查数学抽象的核心素养.14.若双曲线两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是_.【答案】【解析】【分析】由题意知，渐近线方程是，再据，得出与的关系，代入渐近线方程即可【详解】双曲线 的两个顶点三等分焦距，又，渐近线方程是，故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性
14、质即双曲线 的渐近线方程为属于基础题15.“新冠肺炎”爆发后，某医院由甲、乙、丙、丁、戊5位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情.五位医生去乘高铁，按规定每位乘客在进站前都需要安检，当时只有3个安检口开通，且没有其他旅客进行安检.5位医生分别从3个安检口进行安检，每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检，则甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求基本事件总数n540，再求甲、乙2位医生在同一个安检口进行安检包含的基本事件个数m32135，由此能求出甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率.【详解】每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为
15、不同的安检，基本事件总数n540，甲、乙2位医生在同一个安检口进行安检包含的基本事件个数m32135，则甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率为P11.故答案为：.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，利用排列知识求出总的基本事件空间是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.直线l：xty+10（t0）和抛物线C：y24x相交于不同两点A、B，设AB的中点为M，抛物线C的焦点为F，以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N，且满足|MN|NF|，则直线l的方程为_.【答案】xy+10【解析】【分析】求得抛物线的焦点F，联立直线l和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，设N（
16、ty01，y0），由NFl，结合两直线垂直的条件，可得t，y0的关系式，再由两点的距离公式，化简整理可得t，可得所求直线方程.【详解】y24x的焦点为F（1，0），联立xty+10与y24x，可得y24ty+40，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y24t，则中点M（2t21，2t），设N（ty01，y0），由NFl，可得t，即有y0，由|MN|NF|可得，即为，结合，整理可得t627，解得t，可得直线l的方程为xy+10.故答案：xy+10.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的关系，联立方程结合韦达定理及两点间距离公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共70分
17、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知Sn为数列an的前n项和，且Sn+22an，nN*.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn，设数列bn的前项和为Tn，若Tn，求n的最小值.【答案】（1）an2n（2）10【解析】【分析】（1）由数列an的前n项和与项满足Sn+22an，nN*.消掉Sn可得数列an是等比数列，进而求数列an的通项公式.（2）由（1）得数列bn的通项公式，裂项求和算出Tn1，再由Tn，解整数不等式可求n的最小值.【详解】（1）当n1时，S1+22
18、a1，解得a12，当n2时，Sn1+22an1，Sn+2（Sn1+2）2an2an1，即an2an12，则an是以2为首项，2为公比的等比数列.故an2n.（2）由（1）可得bnTnb1+b2+bn（1）+（）+（）1，又Tn，即1，2n+12021，由于nN，n10，故n的最小值为10.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解及裂项求和，由求注意使用公式，数列求和时一般根据数列通项公式的特点选择合适的方法进行求解.18.在四棱锥PABCD中，平面PAC平面ABCD，且有ABDC，ACCDDAAB.（1）证明：BCPA；（2）若PAPCAC，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.【答案
19、】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设AB2a，则ACCDDAa，推导出，由余弦定理得BC，由勾股定理得BCAC，从而BC平面PAC，由此能证明BCPA.（2）设AC2，取AC中点O，连结PO，则POAC，PO，推导出PO平面ABCD，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：设AB2a，则ACCDDAa，ACD是等边三角形，ABDC，由余弦定理得：3a2，BC，BC2+AC2AB2，BCAC，平面PAC平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面PAC，
20、PA平面PAC，BCPA.（2）解：设AC2，取AC中点O，连结PO，则POAC，PO，平面PAC平面ABCD，PO平面ABCD，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则C（0，0，0），B（0，2，0），P（1，0，），A（2，0，0），D（1，0），（1，0，），（1，0），（1，0，），（0，2，0），设平面PAD的法向量（x，y，z），则，取z1，得（），设平面PBC的法向量（a，b，c），则，取a，得（），设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为.则cos.平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查空间
21、直线和直线垂直及二面角的求解，线线垂直一般转化为线面垂直进行证明，二面角一般通过法向量进行求解，侧重考查逻辑推理及数学运算的核心素养.19.为评估设备生产某种零件性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：；.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（）将
22、直径尺寸在之外零件认定为是“次品”.从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.【答案】（I）丙级；（）；.【解析】【分析】（I）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级（）先根据题意将次品件数求出根据题意知，这种抽取实验是服从二项分布的，根据二项分布的期望公式可求出根据古典概型求概率的公式，可以求出的每种取值的概率，进而求出【详解】（I），由图表知，所以该设备的级别为丙级. （）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率是，依题意，故.从100件样品中任取2件，次品数的可能取值为0
23、，1，2，故.【点睛】对于（）问题是二项分布（次独立重复试验中，事件A发生的次数 ，其期望为）利用公式得出20.已知椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），以坐标原点O为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线xy0的相切.（1）求椭圆C的方程；（2）经过点F的直线l1，l2分别交椭圆C于A、B及C、D四点，且l1l2，探究：是否存在常数，使恒成立.【答案】（1）；（2）存在常数使得恒成立，详见解析.【解析】分析】（1）根据点到直线的距离可以求出短半轴长b，因为焦点已知，所以c1，根据a2b2+c2可以求得a2，从而确定椭圆的方程；（2）分两类，l1，l2中一条斜率不存在，l1，l2的斜率
24、存在且不为0，分别来探索常数的值，其中在情形中，需要设l1：xty+1（t0），然后联立直线方程和椭圆的方程，消去x得到关于y的方程，再利用弦长公式分别求出|AB|和|CD|，并代入到化简即可得解.【详解】（1）设所求的椭圆方程为，点O到直线xy0的距离为，又c1，a2b2+c24，故所求椭圆C的方程为.（2）假设存在常数，使恒成立，则，当l1，l2中一条斜率不存在时，可知|AB|，|CD|其中一个长为2a4，另一个为，此时，当l1，l2的斜率存在且不为0时，不妨设l1：xty+1（t0），A（ty1+1，y1），B（ty2+1），联立得（3t2+4）y2+6ty90，36t24（3t2+4）
25、（9）144（t2+1）0，用代替上式中的t可得，综上所述，存在常数使得恒成立.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的定值问题，椭圆的方程的求解关键是确定的值，定值问题一般结合目标式及韦达定理进行化简变形求解，侧重考查数学运算的核心素养.21.已知函数f（x）x2+ax+lnx（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2且|x1x2|，求|f（x1）f（x2）|的最大值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】（1）求导可得，再分，讨论与0的大小关系，进而得出单调性情况；（2）表示出，构造函数，利用导数求其最大值即可.【详解】（1），
26、设（x）x2+ax+1，则（0）10，对称轴为，当，即a0时，在（0，+）上，0，f（x）是增函数；当，即a0时，a240得a2，（i）当2a0时，在（0，+）上，0，f（x）是增函数；（ii）当a2时，令0得，在上，0，f（x）是增函数；在上，0，f（x）是减函数；（2）由（1）知，f（x）得两个极值点x1，x2满足x2+ax+10，故x1+x2a，x1x21，不妨设0x11x2，则f（x）在（x1，x2）上是减函数，令，设函数，则，h（t）在（1，+）上为增函数，由，则，解得1x22，故，|f（x1）f（x2）|的最大值为.【点睛】本题主要考查函数单调性的判定及最值的求解，单调性一般是利用
27、导数与0的大小进行判定，含有参数时一般要进行分类讨论，函数最值一般利用导数结合单调性或极值进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（为参数，已知直线，直线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线C以及直线，的极坐标方程；（2）若直线与曲线C分别交于O、A两点，直线与曲线C分别交于O、B两点，求的面积【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据题意消参求出曲线C的直线坐标方程，然后利用，即可求解. （2
28、）把代入曲线C的极坐标方程，得出；同理，把代入曲线C的极坐标方程，得出，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）依题意，由曲线C的参数方程（为参数）消参得，故曲线C的普通方程为由，得曲线C的极坐标方程为，的极坐标方程为，（2）把代入，得，所以，把代入，得，所以，所以【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化、直线与曲线相交时的极坐标方程的解法、三角形的面积公式，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，证明【答案】（1）或（2）见解析【解析】【分析】（1）将代入，分类讨论去掉绝对值符号，解不等式组，求并集即可.（2）利用绝对值三角不等式以及不等式的性质即可求解.【详解】解：（1）当时，则解得，即或则所求不等式的解集为或（2）由已知，则所以得证【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及不等式的性质，属于基础题.