1、2015-2016学年山西省晋中市四校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1=( )AiBiCiD+i2给出如下四个命题：若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；“xR，x2+11”的否定是“xR，x2+11；在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件其中不正确的命题的个数是( )A4B3C2D13设0，=（sin2，cos），=（cos，1），若，则tan=( )AB2C1D04已知数列an为等差数列，且a1+a7
2、+a13=4，则tan（a2+a12）的值为( )ABCD5若，则向量与的夹角为( )ABCD6已知函数f（x）=sin（x+）在上有两个零点，则实数m的取值范围为( )ABD7能够把椭圆C：+=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为椭圆C的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是( )Af（x）=x3+x2Bf（x）=lnCf（x）=sinx+cosxDf（x）=ex+ex8已知数列an的通项公式是an=，其前n项和Sn=，则项数n等于( )A13B10C9D69函数f（x）=2cos（x+）（0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=2
3、sinx的图象，只需将函数f（x）的图象( )A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度10函数y=tanx+sinx|tanxsinx|在区间内的图象是( )ABCD11已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（x）在区间（1，0）上单调递减，则a2+b2的取值范围( )ABCD12若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是( )A1B2C3D4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=2，且对任意xR都有f（x+6）
4、=f（x）+f（3）成立，则f=_14已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范围是_15已知M为三角形ABC内一点，且满足2+=，若AMB=，AMC=，|=2，则|=_16给出下列六个命题：函数f（x）=lnx2+x在区间（1，e）上存在零点；若f（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；若m1，则函数y=的值域为R；“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（lx）的图象关于y轴对称；满足条件AC=，AB=1的三角形ABC有两个其中正确命题的个数是_三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
5、）17已知集合A=x|x23x+20，集合B为函数y=x22x+a的值域，集合C=x|x2ax40，命题p：AB；命题q：AC（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题pq为真命题，求实数a的取值范围18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cosA=，sinB=C（1）求tanC的值；（2）若a=，求ABC的面积19已知正项等差数列an的前n项和为Sn且满足a1+a5=63（）求数列an的通项公式an；（）若数列bn满足b1=a1且bn+1bn=an+1，求数列的前n项和Tn20已知m=（2cos（x+），cosx），n=（cosx，2sin（x+），且函数f（x
6、）=+1（1）设方程f（x）1=0在（0，）内有两个零点x1，x2，求f（x1+x2）的值；（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）在上的单调增区间21已知函数f（x）=x22ax+5（a1）（1）若函数f（x）的定义域和值域均为，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（，2，上是减函数，且对任意的x1，x2，总有|f（x1）f（x2）|4，求实数a的取值范围22已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d为奇函数，且在x=1处取得极大值2（）求f（x）解析式；（）过点A（1，t）（t2）可作函数f（x）象的三条切线，求实数t的取值范围
7、；（）若f（x）+（m+2）xx2（ex1）对于任意的x，故=故选B【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属中档题6已知函数f（x）=sin（x+）在上有两个零点，则实数m的取值范围为( )ABD【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】由f（x）=0得sin（x+）=，然后求出函数y=sin（x+）在上的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由f（x）=0得sin（x+）=，作出函数y=g（x）=sin（x+）在上的图象，如图：由图象可知当x=0时，g（0）=sin=，函数g（x）的最大值为1，要使f（x）在上有两个零点，则，即，故选：B【点评】本题主要
8、考查函数零点个数的应用，利用三角函数的图象是解决本题的关键7能够把椭圆C：+=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为椭圆C的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是( )Af（x）=x3+x2Bf（x）=lnCf（x）=sinx+cosxDf（x）=ex+ex【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可【解答】解：f（x）=x3+x2不是奇函数，f（x）=x3+x2的图象不关于原点对称，f（x）=x3+x2不是椭圆的“亲和函数”；f（x）=ln是奇函数，f（x）=ln的图象关于原点
9、对称，f（x）=ln是椭圆的“亲和函数”；f（x）=sinx+cosx不是奇函数，f（x）=sinx+cosx的图象不关于原点对称，f（x）=sinx+cosx不是椭圆的“亲和函数”；f（x）=ex+ex不是奇函数，f（x）=ex+ex的图象关于原点不对称，f（x）=ex+ex不是椭圆的“亲和函数”故选：B【点评】本题考查椭圆的“亲和函数”的判断，是基础题，解题时要准确把握题意并合理转化，注意函数的奇偶性的合理运用8已知数列an的通项公式是an=，其前n项和Sn=，则项数n等于( )A13B10C9D6【考点】数列的求和【专题】计算题【分析】先将数列的通项变形，再求和，利用已知条件建立方程，即
10、可求得数列的项数n【解答】解：数列an的通项公式是an=，an=1，Sn=（1）+（1）+（1）+（1）=n（+）=n=n1+由Sn=n1+，可得出n=6故选D【点评】本题考查了数列的通项，考查数列的求和，解题时掌握公式是关键，属于基础题9函数f（x）=2cos（x+）（0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=2sinx的图象，只需将函数f（x）的图象( )A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】余弦函数的图象【专题】数形结合；三角函数的图像与性质【分析】由题意可得函数的周期，可得值，由函数图象变换的规律可得【解
11、答】解：函数f（x）=2cos（x+）（0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，函数f（x）=2cos（x+）的周期为，=，解得=2，f（x）=2cos（2x+），g（x）=2sin2x=2cos（2x）=2cos，要得到函数g（x）=2sinx的图象，只需将函数f（x）的图象向右平移个单位故选：C【点评】本题考查正余弦函数的图象，涉及周期性和图象变换，属基础题10函数y=tanx+sinx|tanxsinx|在区间内的图象是( )ABCD【考点】正切函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法；三角函数值的符号；正弦函数的图象；余弦函数的图象【专题】压轴题；分类讨论【分析】本
12、题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间上的符号，但因为已知区间即包含第II象限内的角，也包含第III象限内的角，因此要进行分类讨论【解答】解：函数，分段画出函数图象如D图示，故选D【点评】准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦”11已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（x）在区间（1，0）上单调递减，则a2+b2的取值范围( )ABCD【考点】函数的单调性与导数的关系【专题】计算题【分析】由函数在区间（1，0）上是单调递减，得到导函数小于等于0恒成立即f（1）0且f（0）0代入得到一个不等式组，
13、可以把而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值【解答】解：（1）依题意，f（x）=3x2+2ax+b0，在（1，0）上恒成立只需要即可，也即，而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，由点到直线的距离公式d2=，a2+b2的最小值为则a2+b2的取值范围故选C【点评】考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，理解二元一次不等式组与平面区域的关系，考查数形结合思想属于基础题12若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是( )A1B2C3D4【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】
14、计算题【分析】先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数【解答】解：a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，a，b分别为函数y=4x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标由于y=x与y=4x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称a+b=4函数f（x）=当x0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，x=2或x=1，满足题意当x0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意关于x的方程f（x）=x的解的个数是3故
15、选C【点评】本题考查函数与方程的联系，考查根的个数的研究，解题的关键是求出分段函数的解析式，有一定的综合性二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上）13已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=2，且对任意xR都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f=2【考点】抽象函数及其应用【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】求出f（3）=0，可得f（x）是以6为周期的周期函数，即可得出结论【解答】解：在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=3，得f（3）=f（3）+f（3），即f（3）=0又f（x）是R上的奇函数，故f（3）=0故f（x+6）=f（x），f（x）是
16、以6为周期的周期函数，从而f=f（63361）=f（1）=f（1）=2故答案为：2【点评】本题主要考查奇函数、周期函数的应用，确定f（x）是以6为周期的周期函数是关键14已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范围是【考点】充要条件【专题】计算题【分析】先求出不等式|xm|1的解集，再由不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x来确定m的取值范围【解答】解：|xm|1，1xm1，m1xm+1，m1xm+1成立的充分不必要条件是x，解得m故m的取值范围是故答案：【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用15已知M为三角形ABC内一点，且满足2+=，
17、若AMB=，AMC=，|=2，则|=2【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】设线段BC的中点为E，由条件可得 =，故A、M、E三点共线，BME=，CME=BME中和CME中，分别应用正弦定理可得MC的值【解答】解：设线段BC的中点为E，则+=2，根据 2+=，可得 =，故A、M、E三点共线AMB=，AMC=，BME=，CME=BME中，由正弦定理可得=，即=，即BC= CME中，由正弦定理可得=，即=，即BC= 由求得MC=2，故答案为：2【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理的应用，属于中档题16给出下列六个命题：函数f（x）=lnx2+x
18、在区间（1，e）上存在零点；若f（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；若m1，则函数y=的值域为R；“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（lx）的图象关于y轴对称；满足条件AC=，AB=1的三角形ABC有两个其中正确命题的个数是【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数零点的判定定理可得正确 通过举反例可得不正确根据对数的真数可取遍所有的正实数，可得此对数函数的值域为R，故正确根据a=1时，函数在定义域上是奇函数，再根据函数在定义域上是奇函数时，a=1，可得正确由函数y=f（1+x）的图象与函数y
19、=f（lx）的图象关于y轴对称，可得正确由AC=，AB=1，利用正弦定理及由大边对大角可得ABC是一个唯一的直角三角形，故不正确【解答】解：对于函数f（x）=lnx2+x，在区间（1，e）上单调递增，f（1）=1，f（e）=e10，根据函数零点的判定定理可得，在区间（1，e）上存在零点，故正确不正确，如当f（x）=x3时，显然满足f（0）=0，但y=f（x）=x3 在x=0处没有极值当 m1，函数y=的真数为 x22xm，判别式=4+4m0，故真数可取遍所有的正实数，故函数y=的值域为R，故正确由a=1可得，定义域为R，关于原点对称，=f（x），故函数在定义域上是奇函数，故充分性成立若函数在定
20、义域上是奇函数，则有f（0）=0，或f（0）不存在，a=1，或a=1，故不能推出a=1故必要性不成立，故正确在函数y=f（1+x）的图象上任意取一点（a，f（1+a），则点（a，f（1+a）关于y轴的对称点为（a，f（1a），故函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（lx）的图象关于y轴对称，故正确ABC中，由AC=，AB=1，利用正弦定理求得sinC=，再由大边对大角可得C=30，B=90，ABC是一个唯一的直角三角形，故不正确故答案为 【点评】本题主要考查命题的真假的判断，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明，证明过程
21、或演算步骤）17已知集合A=x|x23x+20，集合B为函数y=x22x+a的值域，集合C=x|x2ax40，命题p：AB；命题q：AC（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题pq为真命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；集合关系中的参数取值问题【专题】计算题【分析】由题意可得A=x|1x2，B=y|ya1，C=x|x2ax40，（1）由命题p为假命题可得AB=，可求a（2）由题意可得AB且AC，结合集合之间的基本运算可求a的范围【解答】解：y=x22x+a=（x1）2+a1a1A=x|x23x+20=x|1x2，B=y|ya1，C=x|x2ax40，（1）由命题p为
22、假命题可得AB=a12a3（2）命题pq为真命题命题p，q都为真命题即AB且AC解可得0a3【点评】本题考查解决二次不等式的求解，二次函数值域的求解，集合的基本运算及复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cosA=，sinB=C（1）求tanC的值；（2）若a=，求ABC的面积【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用【专题】解三角形【分析】（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A
23、+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：（1）A为三角形的内角，cosA=，sinA=，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC
24、=；（2）由tanC=得：cosC=，sinC=，sinB=cosC=，a=，由正弦定理=得：c=，则SABC=acsinB=【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19已知正项等差数列an的前n项和为Sn且满足a1+a5=63（）求数列an的通项公式an；（）若数列bn满足b1=a1且bn+1bn=an+1，求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】（）根据已知条件建立方程组，通过解方程求出首项和公差，进一步求出数列
25、的通项公式（）首先利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和【解答】解：（）法一：设正项等差数列an的首项为a1，公差为d，an0则，得an=2n+1法二：an是等差数列且，又an0a3=7，d=a4a3=2，an=a3+（n3）d=2n+1 （）bn+1bn=an+1且an=2n+1，bn+1bn=2n+3当n2时，bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=（2n+1）+（2n1）+5+3=n（n+2），当n=1时，b1=3满足上式，bn=n（n+2）=【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型20已知m=（2
26、cos（x+），cosx），n=（cosx，2sin（x+），且函数f（x）=+1（1）设方程f（x）1=0在（0，）内有两个零点x1，x2，求f（x1+x2）的值；（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）在上的单调增区间【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）利用平面向量数量积的运算可得f（x）=cos（2x+）+2，由题意解得cos（2x+）=，结合范围x（0，），解得x1，x2的值，即可得解
27、（2）利用函数y=Asin（x+）的图象变换可得g（x）=cos（2x+）+4，由2k2x+2k即可解得函数g（x）在上的单调增区间【解答】解：（1）f（x）=+1=2cos（x+）cosx+cosx2sin（x+）+1=2sinxcosx+2cosxcosx+1=sin2x+1+cos2x+1=cos（2x+）+2，而f（x）1=0，得：cos（2x+）=，而x（0，），得：或，所以f（x1+x2）=f（）=cos（+）+2=3（2）f（x）=cos（2x+）+2左移个单位得f（x）=cos（2x+）+2，再上移2个单位得g（x）=cos（2x+）+4，则g（x）的单调递增区间：2k2x+2
28、k，所以+kx+k，而x，得：f（x）在x和x上递增【点评】本题主要考查了函数y=Asin（x+）的图象变换，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查21已知函数f（x）=x22ax+5（a1）（1）若函数f（x）的定义域和值域均为，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（，2，上是减函数，且对任意的x1，x2，总有|f（x1）f（x2）|4，求实数a的取值范围【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】（1）确定函数的对称轴，从而可得函数的单调性，利用f（x）的定义域和值域均是，建立方程，即可求实数a的值（2）可以根据函数f（x）=x22ax+5=（xa）2
29、+5a2开口向上，对称轴为x=a，可以推出a的范围，利用函数的图象求出上的最值问题，对任意的x，总有|f（x1）f（x2）|4，从而求出实数a的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）=x22ax+5（a1），f（x）开口向上，对称轴为x=a1，f（x）在是单调减函数，f（x）的最大值为f（1）=62a；f（x）的最小值为f（a）=5a262a=a，且5a2=1a=2（14分）（2）函数f（x）=x22ax+5=（xa）2+5a2开口向上，对称轴为x=a，f（x）在区间（，2上是减函数，对称轴大于等于2，a2，a+13，f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数，f（x）在x=a
30、处取得最小值，f（x）min=f（a）=5a2，f（x）在x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=62a，5a2f（x）62a，对任意的x，总有|f（x1）f（x2）|4，62a（5a2）4，解得：1a3；综上：1a3【点评】本题考查二次函数的最值问题，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键，此题是一道函数的恒成立问题，第二问难度比较大，充分考查了函数的对称轴和二次函数的图象问题，是一道中档题22已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d为奇函数，且在x=1处取得极大值2（）求f（x）解析式；（）过点A（1，t）（t2）可作函数f（x）象的三条切线，求实数t的取值范围；（）若f（x）+（m+2）xx2（ex1）对于任意的x【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用
