1、第一部分 高考专题讲解 专题五 数列、不等式、推理与证明第十三讲 一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用1.新课标高考对不等式的要求有所降低从近两年的考试大纲及高考命题来看，一般只要求掌握不等关系与不等式、一元二次不等式的解法以及线性规划等基础内容高考中不等式的性质、均值不等式的应用和线性规划多以选择题或填空题的形式出现，而解一元二次不等式则广泛地渗透到函数、数列、解析几何等知识考情分析的解答题中此外，要重视不等式中的数学思想方法，加强等价转化思想、数形结合思想、分类讨论思想以及函数与方程思想在不等式解题中的基础性作用考情分析2利用基本不等式求函数最值是确定函数最值的重要方法，为近几年各
2、省市高考的热点3常与函数、解析几何、立体几何和实际问题交汇命题，多以中档题形式出现考情分析要点串讲1.一元二次不等式是最常见的不等式，其解集取决于它作为方程的两个根，因此首先要判断方程是否有根，也就是要判断其判别式的正负在解不等式前还应把它化成二次项系数为正值的情况，在这种情况下写出的解集不易出错2与一元二次不等式有关的恒成立问题一般要与二次函数的图象联系起来进行求解通常需要考虑的是：二次函数的开口方向，判别式与 0 的大小关系等有区间限制的恒成立问题还需要考虑区间端点的取值与对称轴的取值等3一元二次不等式 ax2bxc0(或0)，如果 a 与 ax2bxc 同号，则其解集在两根之外；如果 a
3、 与 ax2bxc 异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间即 xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；x1xx2(xx1)(xx2)0(x10 或 f(x)0；fxgx0f(x)g(x)0(或0，b0)的性质(1)yaxbx(a，bR)在(，ba和 ba，)上为增函数，在ba，0)和(0,ba上为减函数(2)求函数 yaxbx(a，bR，x(0，c)的最小值时应注意：若 cba，则当且仅当 xba时，y 有最小值 2 ab；若 c0ab，ab0ab，ab0a0，当 a1 时等号成立).2(a2b2)(ab)2(a，bR，当 ab 时等号成立)|ab|a|b|(ab0 时等
4、号成立)|ab|a|b|(ab0 时等号成立)12不等式的应用主要涉及以下三个方面：(1)建立函数关系，利用均值不等式求最值根据题设条件建立函数关系式，并创建均值不等式的应用背景在应用均值不等式求最值时要注意的是“一正、二定、三等”，即求和(积)的最小值(最大值)时，必须使其积(和)为定值，并且要注意各项是否为正，等号成立的条件是否满足(即各项是否能相等)(2)建立不等式求参数的取值范围常见的问题有：在集合问题中的应用；在方程(组)的解的讨论中的应用；在函数、导数和数列问题中的应用；在平面向量、解析几何和立体几何中的应用；在概率与统计中的应用等等解决这类问题的基本方法是根据条件列出相关的不等式
5、(组)进行求解或利用函数单调性、均值不等式求其值域(3)利用不等式解决实际问题不等式的应用题大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式或函数的单调性求最值问题应用不等式解题的关键是建立不等关系解不等式应用问题的步骤：审题，建立不等模型，利用不等式有关知识解题解决问题的具体模式如下：现实世界中的实际问题数学抽象 不等式模型 实际问题的解还原实际 不等式的解高频考点类型一 含参数不等式的解法【例 1】解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10(aR)分析 对 a 分为三种情况讨论(1)a0；(2)a0.在各自的情况下写出 x 的解集
6、求不等式对应方程的解 按两根大小分类讨论 结合a的符号写出解集解 原不等式可化为(x1)(ax1)0.(1)当 a0 时，原不等式化为x11，原不等式的解集为x|x1；(2)当 a0，又1a0，x1，原不等式的解集为x|x1；(3)当 a0 时，原不等式化为(x1)x1a 0，对应方程(x1)x1a 0 的两根为 1 和1a.当 0a1，1x1a；当 a1 时，原不等式可化为(x1)21 时，1a1，1ax1.综上所述：当 a0 时，解集为x|x1；当 a0 时，解集为x|x1；当 0a1 时，解集为x|1x1 时，解集为x|1ax0.分析：这个不等式左端的二次三项式的二次项系数为正，其对应方
7、程的判别式为 4(m2m1)，这个判别式的符号不确定，我们就要根据这个判别式与 0 的大小关系确定不等式的解解：不等式对应方程的判别式(2m)24(m1)4(m2m1)(1)当 0，即 m1 52或 m1 52时，由于方程x22mxm10 的根是 xm m2m1，所以不等 式 的 解 集 是 x|xm m2m1；(2)当 0，即 m1 52时，不等式的解集为x|xR，且 xm；(3)当 0，即1 52m1 52或 m1 52时，不等式的解集为x|xm m2m1；当 m1 52时，不等式的解集为x|xR，且 xm；当1 52m0(a0)，当0 时，解集为(，x1)(x2，)(x1，x2 为方程
8、ax2bxc0 的两根且 x1x2)；当 0 时，不等式的解集，b2a b2a，；当 0 时，两根的大小关系是明确的，故只需要依据判别式与 0 的关系进行分类讨论就可以化解这个难点当一元二次不等式一端化为 0 后，另一端的二次三项式对应方程的判别式是确定这个不等式解的情况的一把标尺，是进行分类讨论的标准类型二 三个二次的综合问题【例2】(天津)设函数f(x)x4ax32x2b(xR)，其中 a，bR.(1)当 a103 时，讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f(x)仅在 x0 处有极值，求 a 的取值范围；(3)若对于任意的 a2,2，不等式 f(x)1 在 x1,1上恒成立，求 b
9、的取值范围解(1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)当 a103 时，f(x)x(4x210 x4)2x(2x1)(x2)令 f(x)0，解得 x10，x212，x32.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)00，121212，22(2，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值所以 f(x)在0，12，(2，)内是增函数，在(，0)，12，2 内是减函数(2)f(x)x(4x23ax4)，显然 x0 不是方程 4x23ax40 的根为使 f(x)仅在 x0 处有极值，必须使 4x23ax40 恒成立，即有 9a2640.解此不等式，得83a83.这时，f(
10、0)b 是唯一的极值因此满足条件的 a 的取值范围是83，83(3)由条件 a2,2可知 9a2640 恒成立当 x0 时，f(x)0 时，f(x)0.因此函数 f(x)在 x1,1上的最大值是 f(1)与 f(1)两者中的较大者为使对任意的 a2,2，不等式 f(x)1 在 x1,1上恒成立，当且仅当f11f11 即b2ab2a，在 a2,2上恒成立，所以 b4，因此满足条件的 b 的取值范围是(，4点评 三个二次(一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数)问题是高考的重点内容通过上述试题可以看到由于导数的出现，三个二次问题在函数求导后被隐性考查，因此要把相关数学语言(如存在极值)转化为二
11、次函数的语言希望同学们悉心掌握与函数有关的三个二次的相关知识，如含参不等式的解法(求三次函数的单调区间)、一元二次函数方程根的分布(不等式恒成立)、二次方程根(极值的存在性)的探讨等【探究 2】设函数 f(x)a3x332x2(a1)x1，其中a 为实数(1)已知函数 f(x)在 x1 处取得极值，求 a 的值；(2)已知不等式 f(x)x2xa1 对任意 a(0，)都成立，求实数 x 的取值范围解：(1)f(x)ax23xa1，由于函数 f(x)在 x1处取得极值，所以 f(1)0，即 a3a10，a1.(2)由题设知：ax23xa1x2xa1 对任意 a(0，)都成立，即 a(x22)x2
12、2x0 对任意 a(0，)都成立设 g(a)a(x22)x22x(aR)，是对任意 xR，g(a)为单调递增函数(aR)，所以对任意 a(0，)，g(a)0恒成立的充分必要条件是 g(0)0，即x22x0，2x0，于是 x 的取值范围是x|2x0类型三 简单的线性规划问题【例 3】制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%，可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元问此人对甲、乙两个项目各投资多少万元
13、，才能使可能的盈利最大？分析 由题的条件列出约束条件，即关于 x，y 的不等式组，另外准确找出不等式组表示的区域是解题的关键设未知数 列线性约束条件和目标函数 画可行域 平移直线求最优解解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知xy10，0.3x0.1y1.8，x0，y0.目标函数 zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域作直线 l0：x0.5y0，并作平行于直线 l0 的一组直线 x0.5yz，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点，且与直线 x0.5y0 的距离最大，这里 M 点是直线 xy10 和 0.3x0.
14、1y1.8 的交点解方程组xy10，0.3x0.1y1.8，得x4，y6.此时 z140.567.70，当 x4，y6 时 z 取得最大值综上，投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大点评 线性规划是直线方程的又一应用，线性规划中的可行域，就是二元一次不等式(组)表示的平面区域求线性目标函数 zaxby 的最大值或最小值时，作出一组与直线 axby0 平行的直线 axbyz，结合zb的意义在可行域内确定最优解【探究 3】在平面直角坐标系中，若不等式组y0，y2x，ykx11，表示一个三角形区域，则实数 k 的取值范围是_分析
15、：题目给出的区域边界两“静”一“动”，可以画出区域，利用数形结合解决本题很容易在分析动直线的位置时出错，这个错误就出现在当直线 yk(x1)1 的斜率为正值时，误以为三条直线仍然能够构成三角形，这样做的结果是 k 的取值范围是(，1)(0,2)(2，)解析：如下图所示，直线 yk(x1)1 过定点(1，1)，当这条直线斜率为负值时，该直线与 y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(，1)，可构成三角形区域；当直线的斜率为正值时，yk(x1)1 所表示的是直线 yk(x1)1 及其下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形；当直线斜率为 0 时，构不成平面
16、区域因此 k 的取值范围是(，1)答案：(，1)点评：一条直线 AxByC0 把平面分为两个半平面，在每个半平面内的点(x，y)使 AxByC 的值的符号一致，判断 AxByC 的符号可以采用特殊点等在解决平面区域问题时要结合直线的各种情况进行分析，不要凭直觉进行解答，如本题看似简单，实际上在考试中真正做对并不容易，两条定直线构成一个三角形区域，但对于那条动直线，当斜率为正和为负时，是很容易弄错的类型四 利用基本不等式证明不等式【例 4】若定义在区间 D 上的函数 yf(x)对于区间D 上的任意两个值 x1、x2 总有以下不等式12f(x1)f(x2)fx1x22成立，则称函数 yf(x)为区
17、间 D 上的“凹函数”已知函数 f(x)x22xalnx(x0)，试证明当 a0时，f(x)为“凹函数”分析 由题设中“凹函数”的定义可知，只需证明函 数 f(x)在 定 义 域(0，)上 满 足 12 f(x1)f(x2)fx1x22即可证明 由 f(x)x22xalnx 得，fx1fx2212(x21x22)1x1 1x2 a2(lnx1lnx2)12(x21x22)x1x2x1x2 aln x1x2.fx1x22x1x2224x1x2alnx1x22.而12(x21x22)14(x21x22)2x1x2x1x222又(x1x2)2(x21x22)2x1x24x1x2，x1x2x1x2 4
18、x1x2 x1x2x1x22，ln x1x2lnx1x22，又a0，aln x1x2alnx1x22 由得12(x21x22)x1x2x1x2 aln x1x2x1x2224x1x2alnx1x22.即fx1fx22fx1x22，由凹函数的定义可知，当 a0 时，函数 f(x)为凹函数点评 本题要求较高，需综合应用不等式链21x1 1x2 x1x2x1x22x21x222.事实上，近年来的高考试题很少单纯显性地考查均值不等式，更多的试题是将均值不等式融入到其他知识中隐性地考查此外，利用均值不等式求最值，一定要牢记“一正、二定、三等”这三个条件，解题中等号成立的条件往往容易被忽视类型五 不等式的
19、应用问题【例 5】某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 a m房屋正面的造价为 400 元/m2，房屋侧面的造价为 150 元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？分析 用长度 x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可还应注意定义域 0 xa，函数取最小值时的 x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用不等式求最值，可以考虑单调性解 由题意可得，造价 y3(2x15012x 400)5800900 x16x 5800(0 xa)，则 y
20、900 x16x 58009002 x16x 580013000，当且仅当 x16x，即 x4 时取等号若 a4，则当 x4 时，y 有最小值为 13000；若 a4，任取 x1，x2(0，a)且 x1x2.y1y2900 x116x1 5800900 x216x2 5800900(x1x2)161x1 1x2 900 x1x2x1x216x1x2.x1x2a，x1x20，x1x2a216，即 x1x2160，y900 x16x 5800 在(0，a上是减函数当 xa 时，y 有最小值为 900a16a 5800.综上，若 a4，当 x4 时，有最小值 13000；若 a4，当 xa 时，有最
21、小值为 900a16a 5800.点评 本题的难点在于利用基本不等式时，在 a0(a0)，如果式中含有参数，需根据参数的取值范围分类讨论进行处理，常见需讨论的有如下几种：(1)二次项系数的正负；方程 ax2bxc0 中 与 0 的大小关系；方程 ax2bxc0 两根的大小(2)我们在解决以上问题时，最优的处理次序为先看二次项系数的正负，其次考虑，最后分析两根大小分类讨论时注意以下问题：对参数分类时要目标明确，讨论时要不重不漏；最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为时，也是其中一类，不要随便丢掉；弄清分类原因，能合理地对参数进行分类；并不是所有含参数的问题都需要分类讨论2分式不等式及高次不等式
22、的解法(1)分式不等式的解法：解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，同时注意含等号的分式不等式的分母不为零axbcxd0 可转化为(axb)(cxd)0，也可转化为axb0cxd0 或axb0，cxd0或axb0，cxd0将 f(x)的最高次项系数化为正数将 f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)根据曲线显现出的 f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集3线性规划的实际应用利用线性规划解决实际问题的一般步骤：(1)认真分析掌握实际问题的背景，收集有关数据
23、(2)将影响问题的各项主要因素作为决策量，设为未知数(3)根据问题特点，写出线性约束条件，建立目标函数(4)根据约束条件，作出可行域，作出目标函数的等值线(5)在可行域内平移目标函数等值线，确定最优解(6)作答4不等式的综合运用主要体现在利用基本不等式求一些特殊函数的最值，根据不等式的解确定实际问题的可行范围等其中最大的难点是利用基本不等式求最值时的变换技巧常用的技巧有常数变换、平方变换、整体换元等方法，这要根据不同的题目灵活选用.高考陪练1.(2011福建)若关于 x 的方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是()A(1,1)B(2,2)C(，2)(2，)D(，1)
24、(1，)解析：m240，则 m2.答案：C2 (2011 天 津)设 变 量 x，y 满 足 约 束 条 件 x1，xy40，x3y40，则目标函数 z3xy 的最大值为()A4 B0 C.43 D4解析：可求出三条直线 x1，xy40，x3y40 的两两相交的交点为(1,3)，1，53，(2,2)，将三点依次代入 z3xy 可求出 z 的最大值zmax3224.答案：D3(2011湖北)直线 2xy100 与不等式组x0，y0，xy2，4x3y20表示的平面区域的公共点有()A0 个 B1 个C2 个 D无数个解析：不等式组的可行域如图所示阴影部分如图，直线 2xy100 与阴影部分只交于点
25、(5,0)，只有一个公共点答案：B4(2011广东 B)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域D 由不等式组0 x 2y2x 2y给定若 M(x，y)为 D 上的动点，点 A 的坐标为(2，1)，则 zOM OA 的最大值为()A3 B4C3 2D4 2解析：画出区域 D 如图所示，则 M(x，y)为图中阴影部分对应四边形 OABC 上的动点，又 zOM OA 2xy当目标线过点 B(2，2)时，zmax4.答案：B5(2011北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元若每批生产 x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件B80 件C100 件D120 件解析：由题意知，设每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 y，yxx8800 xx8800 x(x0)yx8800 x 2 x8800 x 20，当且仅当x8800 x，即 x80 时等号成立故当每批生产 80 件时，y 值最小答案：B高考专题训练十三
