1、保山市中小学 2019-2020 学年高二下学期期末教育教学质量理科数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷第 1 页至第 2 页，第卷第 3 页至第4 页.考试结束后，请将答题卡交回.满分 150 分，考试用时 120 分钟.第卷（选择题，共 60 分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题所给
2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合|210Axxx，2,0,1B ，则 AB中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.32.已知数列 na的前n 项和为nS，若231nSnn，则3a （）A.1B.-1C.0D.23.已知点O 为三角形 ABC 的外心（各边中垂线的交点），4AB，则 AB AO（）A.8B.6C.4D.24.已知函数 f x 是定义在 R 上的连续函数，则函数 f x 在区间0,1 上存在零点是 010ff的（）条件.A.充分不必要B.充要C.必要不充分D.既不充分也不必要5.执行如图所示的程序框图，如果依次输入-2 与2log 12，则两次输出的结果之和为（
3、）A.5B.9C.12D.156.已知2sin63，则2cos23（）A.19B.19C.89D.897.若直线l 过点2,3，倾斜角为120，则点1,3到直线l 的距离为（）A.32B.3C.3 32D.5 328.已知22.718aee，ln 3b，2log3c，则（）A.abcB.acbC.bacD.cba9.已知函数 sin 213fxx，下列说法错误的是（）A.3 是函数 f x 的一个周期B.函数 f x 的图象关于,13成中心对称C.函数的一条对称轴为712xD.函数图象向左平移 6 个单位后关于 y 轴对称10.某几何体的三视图为三个直角边为 1 的等腰直角三角形，如图所示，则
4、该几何体外接球的表面积为（）A.3B.6C.9D.1211.如图所示，三棱柱111ABCABC所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D，E 分别为棱11A B，11B C 的中点，则异面直线 AD 与 BE 所成角的余弦值为（）A.710B.3 510C.155D.3512.已知1F，2F 分别是双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点，抛物线28yx的焦点与双曲线的一个焦点重合，点 P 是两曲线的一个交点，12PFPF且1 21PF FS，则双曲线的离心率为（）A.3B.2 33C.4 33D.2第卷（非选择题，共 90 分）注意事项：第卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试
5、题卷上作答无效.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.设 x，y 满足约束条件2202030 xyxyxy ，则32zxy的最大值为_.14.已知等比数列 na各项均为正数，满足22a，835aa a，则公比q _.15.在长为 3、宽为 2 的长方形内任取一点，使它到四个顶点的距离均不小于 1 的概率为_.16.函数40ayxax在1,2 上的最小值为 8，则实数a _.三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.2020 年初，一场突如其来的疫情打乱了人们的生活节奏，也改变了很多人的消费方式，某集团在各地区共有 20 家商品销售门店
6、，为应对疫情，确保公司商品销售营业额，集团决定在所有门店重点推行线上销售模式，经过半年的努力，公司统计了所有门店在 1 月6 月的商品销售营业额，发现营业额均分布在 600 万元1100 万元之间，其频率分布直方图如图.（）估计集团 20 家门店在上半年的平均营业额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）为帮助营业额落后的门店，集团决定在营业额超过 900 万元的门店中抽取若干家对销售额不超过 700万元的门店实施一对一帮扶，规定销售额超过 1000 万元的门店必须参与，若甲门店上半年的销售额为 950万元，求甲门店被选中的概率.18.函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当0 x
7、时，241f xxx.（）求函数 f x 的解析式；（）讨论函数 g xf xmx零点的个数.19.已 知ABC的 三 个 内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，且 满 足 关 系 式sin3 cos3()cosABabCc.（）求角C 的大小；（）若3ab，2c，求ABC的面积.20.如图，在四棱锥 BACDE中，5ABAC，/AECD，22AECDBC，AE 平面 ABC，F 为 BD 的中点.（）证明：EF 平面 BCD；（）求二面角 FECB的正弦值.21.已知数列 na的前n 项和为nS，满足11a ，1nnSSn.（）求数列 na的前n 项和nS；（）令21n
8、nnbS，求 nb的前n 项和nT.22.已知椭圆 E：222210 xyabab，点3 3 4,55P在曲线 E 上，短轴下顶点为 A，且短轴长为 2.（）求椭圆 E 的标准方程；（）过点 P 作直线l 与椭圆的另一交点为 B，且与 PA 所成的夹角为30，求PAB的面积.2020 年保山市中小学教育教学质量监测高二年级理科数学参考答案第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1-5：CDACD6-10：BCADA11-12：AB【解析】1.|12Axx，0,1AB，故选 C.2.332112aSS ，故选 D.3.设 AB 的中点为 D，则
9、cosAB AOABAOOAD2182ABADAB，故选 A.4.若二次函数在0,1 上存在两个零点，则 01ff可大于零，故函数 f x 在区间0,1 上存在零点不能推出 010ff；当 010ff时，由于函数在 R 上连续，根据零点存在性定理，f x 在区间0,1 上必存在零点，故为必要不充分条件，故选 C.5.当输入-2 时，21log 43y ，当输入2log 12时，2log 12212y，故和为 15，故选 D.6.2sinsincos62333，228cos22cos11339 19，故选 B.7.由倾斜角为120得直线的斜率为3，求得直线l 的方程为33 3yx，则点1,3到直
10、线l 的距离333 33 322d，故选 C.8.22112aee，11ln3ln322b，22log3log 31c，故cba，故选 A.9.函数 f x 的最小正周期为，故3 是函数 f x 的一个周期，A 正确；当3x时，sin 203x，故 B 正确；当712x时，函数 f x 取得最小值，712x为对称轴，C 正确；函数图象向左平移 6 个单位后函数解析式为sin 2163yx，即2sin 213yx，不是偶函数，图象不关于 y 轴对称，故选 D.10.在正方体内将三视图还原为直观图，如图，棱锥 ABCD 为三视图的直观图，四个顶点均为正方体的顶点，故棱锥 ABCD 的外接球为正方体
11、的外接球，由三视图知正方体的棱长为 1，则 23R，243SR，故选 A.11.如图，取 AC 的中点 F，连接 DE，EF，易证/ADEF，则异面直线 AD 与 BE 所成角为FEB，令三棱柱各棱长为 2，可计算5EFBE，3BF，由余弦定理得7cos10FEB，故选 A.12.由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c，因为12PFPF，且1 21PF FS，则122PFPF，222212124PFPFFFc，点P在双曲线上，则122PFPFa，故222121224PFPFPFPFa，则22444ca，所以3a，离心率为 2 33，故选 B.第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4
12、小题，每小题 5 分，共 20 分）13.8 14.215.1616.3【解析】13.根据约束条件可作图如图，当直线322zyx 经过2,1C点时，目标函数32zxy取得最大值，最大值为 8.14.由835aa a，得63222a qa q a q，则2q ，因为数列 na各项均为正数，故2q.15.21644166p .16.令4axx，解得2xa，当 22a 时，即1a，函数在1,2 上单调递减，min228ya，则3a，符合题意；当122a时，即 114a，函数在1,2 a上单减，在 2,2a 上单增，min4282ayaa，解得4a（舍）；当 21a 时，即14a，函数在 1,2 上单
13、调递增，min148ya，解得74a（舍），综上得3a.三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解：（）根据频率分布直方图，设该集团 20 家门店上半年的平均营业额为 x，则650 0.15750 0.2850 0.35950 0.25 1050 0.05835x（万元），（）可计算得营业额不超过 700 万元的门店有 3 家，营业额在 9001000 万元的门店有 5 家，1000 万元以上的有 1 家，由题意知需要在营业额在 9001000 万元的 5 家门店中再抽取两家.设“甲门店被选中”为事件 A，用a，b，c，d 表示 5 家门店中的另 4 家，则组合
14、方式列举如下：甲a，甲b，甲c，甲d，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共 10 种情形，其中表示甲门店被选中的有 4 种情形，故 42105P A，甲门店被选中的概率为 25.18.解：（）当0 x 时，0 x，241fxxx ，f x 是奇函数，fxf x，0 x 时，241f xfxxx ，当0 x 时，00f，2241,0()0,041,0 xxxf xxxxx.（）令 0g x，则 f xmx，当0 x 时，显然 0g x，无论m 取何值，0 x 均为函数 g x 的零点，当0 x 时，由 f xmx，得14mxx，当2m 时，函数 g x 在0,有一个零点；当2m 时，函数 g
15、x 在0,有两个零点；当2m 时，函数 g x 在0,无零点，根据奇函数的对称性可得，当2m 时，函数 g x 在0,有 3 个零点；当2m 时，函数 g x 在0,有 5 个零点；当2m 时，函数 g x 在0,有 1 个零点.19.解：（）由正弦定理得 sin3 cos3(sinsin)cossinABABCC，化简得sin(sin3cos)3sinACCA，sin0A，sin3cos3CC，则3sin32C，得23C或C（舍），23C.（）由余弦定理得22242cos 3abab，化简得24()9ababab，故5ab，15 3sin24SabC，ABC的面积为 5 34.20.（）证明
16、：如图，取 BC 的中点 H，连接 FH，AH，F，H 分别为 BD，BC 的中点，/FHDC 且12FHDC./AECD 且12AECD，/FHAE，四边形 AEFH 为平行四边形，则/EFAH.AE 平面 ABC，FH 平面 ABC，FHAH.又 ABAC，AHBC，FHBCH，故 AH 平面 BCD，所以 EF 平面 BCD.（）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,1F，2,0,1E，0,1,0C，0,1,0B，0,2,0BC，2,1,1EB ，CDBC，FBCF.又 EF 平面 BCD，则 FBEF，故 FB 平面 ECF，则平面 ECF 的法向量为0,1,1FB，设平面 BC
17、E 的法向量为,nx y z，满足关系：00n BCn EB ，即2020yxyz，则1,0,2n.设二面角 FECB的平面角为，210cos525n FBnFB，二面角 FECB的正弦值为155.21.解：（）由1nnSSn，得 112211nnnnnSSSSSSSS(1)2 1nn(1)2n n，22(1)4nn nS.（）2222214(21)114(1)(1)nnnnbSn nnn，2222221111114 1223(1)nTnn214 1(1)n.22.解：（）将点3 3 4,55P代入椭圆的方程得22271612525ab，由短轴长为 2，知1b ，故23a，则椭圆的方程为2213xy.（）由题意可得 PA 的斜率为3，即 PA 的倾斜角为60，当 PA 与直线l 所成夹角为30 时，易知直线l 的倾斜角为30 或90.当直线l 的倾斜角为90 时，85PB，223 346 31555PA，则112 3sin30225PABSPAPB；当直线l 的倾斜角为30 时，直线l 的方程为433 3535yx，即3135yx，联立方程22313513yxxy，得22 37220525xx，则35BPxx，故4 35Bx .2314135BPPxBx，121 3sin30225PABSPAPB，综上可得PAB的面积为12 325或 21 325.
