1、第六章 立体几何初步5 垂直关系5.2 平面与平面垂直课程标准核心素养1借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中平面与平面垂直的位置关系2掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面垂直的位置关系.通过本节的学习，培养学生的几何直观能力，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，提升在直观感知，操作确认的基础上归纳、概括结论的素养.必备知识探新知关键能力攻重难课堂检测固双基必备知识探新知一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面知识点1半平面基础知识(1)定义：从一条直线出发的两个_所组成的图形称为二面角(2)相关概念：这条直线称为二面角的棱，这
2、两个半平面称为二面角的面(3)画法：半平面 知识点2二面角(4)记法：二面角AB或l.(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角如图：则二面角l的平面角是AOB垂直(6)二面角的平面角的取值范围：0180.思考1：两个平面相交成90的二面角时，两个平面什么位置关系呢？提示：两平面相交，平面角是直角的叫做直二面角，就说这两个平面互相垂直(1)文字叙述：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的_，那么这条直线与另一个平面垂直(2)图形表示：交线 知识点3平面与平面垂直的性质定理(3)符号表示：，a，l
3、，al，a.(4)作用：证明直线和平面垂直思考2：应用面面垂直的性质定理的关键点是什么呢？提示：应用面面垂直的性质定理的关键是两个垂直的平面中，一个平面内的直线如果垂直于两个平面的交线即实现面面垂直向线面垂直的转化(1)语言叙述：如果一个平面过另一个平面的_，那么这两个平面垂直(2)图形表示：垂线 知识点4平面与平面垂直的判定定理(3)符号表示：l，l.基础自测1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系()(2)异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补()(3)已知两个平面垂直，那么一个平面内的已知直线必
4、垂直于另一个平面的无数条直线()(4)已知两个平面垂直，那么过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内两条平行线，则.()解析(4)当这个点在两个平面的交线上时，命题不正确(5)平面内的这一条直线和平面垂直时，才有.2二面角是指()A一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形B一个半平面与另一个半平面组成的图形C从一条直线出发的两个半平面组成的图形D两个相交的平行四边形组成的图形解析根据二面角的定义可知，选CC3已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()AmlBmnCnlDmn解析因为l，所以l，又n，所以nl.
5、C4如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB底面ABC，且PAPBPC，则ABC是_三角形直角 解析设P在平面ABC上的射影为O，平面PAB底面ABC，平面PAB平面ABCAB，OABPAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心，且是AB的中点，ABC是直角三角形5.在三棱锥PABC中，已知PAPB，PBPC，PCPA，如右图所示，则在三棱锥PABC的四个面中，互相垂直的面有_对3关键能力攻重难题型探究题型一求二面角的大小四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB(1)求二面角APDC的平面角的度数；(2)求二面角BPAD的平面角的度数；(3)求二面角BPAC的平面角的度数；(4)求二
6、面角BPCD的平面角的度数例 1分析求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解(3)因为PA平面ABCD，所以ABPA，ACPA所以BAC为二面角BPAC的平面角又四边形ABCD为正方形，所以BAC45.所以二面角BPAC的平面角的度数为45.归纳提升1求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”作平面角时，一定要注意顶点的选择2作二面角的平面角的方法：方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如右图所示，AOB为二面角a的平面角方法二：(垂线法)过二面角一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或
7、其补角如图所示，AFE为二面角ABCD的平面角方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图所示，AOB为二面角l的平面角【对点练习】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值解析取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角因 为 BB1平 面 A1B1C1D1，OB1平 面A1B1C1D1，所以BB1OB1设正方体的棱长为a，题型二平面与平面垂直的性质及应用如图所示，P是四
8、边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCDG为AD边的中点求证：例 2(1)BG平面PAD；(2)ADPB证明(1)由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面PAD，PG平面ABCD，由BG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD又ADPGG，AD，PG平面PAD，BG平面PAD(2)由(1)可知BGAD，PGAD，BGPGG，BG，PG平面PBG，所以AD平面PBG，又PB平面PBG，所以ADPB归纳提升
9、对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直【对点练习】如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC题型三平面与平面垂直的判定例 3分析(1)根据已知的线段长度，证明PDDC，PDAD，即可得到PD平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论(2)根据(1)问得到PD平
10、面ABCD，从而有PDAC，然后结合底面ABCD为正方形得到ACBD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得结论(2)由(1)知PD平面ABCD，所以PDAC，而四边形ABCD是正方形，所以ACBD，又BDPDD，所以AC平面PDB同时，AC平面PAC，所以平面PAC平面PBD归纳提升证明平面与平面垂直的方法：(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直(3)性质法：利用“两个平行平面中的一个垂直于第三
11、个平面，则另一个也垂直于第三个平面”【对点练习】如图所示，在四面体ABCS中，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC求证：平面ABC平面SBC解析方法一：(利用定义证明)因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC均是等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形取BC的中点D，如图所示，方法二：(利用判定定理)因为SASBSC，且BSACSA60，所以ASB和ASC均是等边三角形，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心因为SBC为直角三角形，所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD平面 SBC又
12、因为 AD平面ABC，所以平面 ABC平面SBC对面面垂直的条件把握不准确致误易错警示例 4已知两个平面垂直，有下列命题：一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是()A3B2C1D0C错解B错因分析中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内正解如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1D1D平面ABCD对于，AD1平面AA1D1D，BD平面ABCD，AD1与BD是异面直线，
13、且夹角为60，故错误；显然正确；对于，AD1平面AA1D1D，但AD1与平面ABCD不垂直，故错误；对于，D平面AA1D1D，平面AA1D1D平面ABCDAD，过点D作AD的垂线，假设为C1D，易证C1DAD，而C1D平面ABCD显然不成立，故错误综上，正确命题的个数为1误区警示对于，很容易认为是正确的而错选B“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过一点作的直线不一定在平面内课堂检测固双基1若平面平面，平面平面，则()ABC与相交但不垂直D以上都有可能D2.如图，在四面体DAB
14、C中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDEC解析ABCB，且E是AC的中点，BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.AC在平面ABC内，平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，平面ACD平面BDE，故选C3已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面()A有1个 B有2个C有无数个D不存在解析经过l的平面都与垂直，而经过l的平面有无数个，故选CC4(多选)下列命题中，正确的选项是()A两个相交平面组成的图形叫做二面角B异面直线a，b分别
15、和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补C二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角D二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系BD 解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以A不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C不对；由定义知D正确故选BD5如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAC平面PBC求证：BCAC证明如图，在平面PAC内作ADPC交PC于点D，平面PAC平面PBC，AD平面PAC，且ADPC，平面PAC平面PBCPC，AD平面PBC，又BC平面PBC，ADBCPA平面ABC，BC平面ABC，PABC，ADPAA，BC平面PAC，AC平面PAC，BCAC
