1、章末综合测评(五)立体几何初步(满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1给出以下四个命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面其中正确命题的个数是()A0 B1C2D3B假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确；如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共
2、面，所以不正确；显然不正确；不正确因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形2设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则lB对于A，若l，l，则和可能平行也可能相交，故错误；对于B，若l，l，则，故正确；对于C，若l，l，则，故错误；对于D，若，l，则l与的位置关系有三种可能：l，l，l，故错误故选B3如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A1对B2对C3对D5对DDAAB，DAPA，DA平面PAB同理BC平面PAB，又AB平面PAD，DC平面PAD，平面PAD平面AC，平面PAB平面AC
3、，平面PBC平面PAB，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5对4如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60B45C30D120AABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO，即ABO60.5设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 Ba2Ca2D5a2B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知APaa，OPa，所以球的半径ROA满足R2a2，故S球4R2a2.6已知平面平面，P是，外一点，过点P
4、的直线m与，分别交于A，C两点，过点P的直线n与，分别交于B，D两点，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为()A16B24或 C14D20B由得ABCD分两种情况：若点P在，的同侧，则，PB，BD；若点P在，之间，则有，PB16，BD24.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E、F，则四边形D1EBF的形状是()A矩形B菱形C平行四边形D正方形C因为过D1B的平面和左右两个侧面分别交于ED1、BF，所以ED1BF，同理D1FEB，所以四边形D1EBF是平行四边形8如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将ABF沿BF所
5、在的直线进行翻折，将CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是()A无论翻折到什么位置，A、C两点都不可能重合B存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60C存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90D存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90D在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60，故B正确；在C中，当平面ABF平面BEDF，平面DCE平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误故选D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每
6、小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9下列命题为真命题的是()A若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C垂直于同一条直线的两条直线相互平行D若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直BD两个平面相交时，也有无数个公共点，A错；比如a，b，c，显然有ab，ac，但b与c也可能相交，C错故选BD10正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是()AACBEBB1E平面ABCDC三棱锥EABC的体积为定值DB1
7、EBC1ABC因为AC平面BDD1B1，故A正确；因为B1D1平面ABCD，故B正确；记正方体的体积为V，则VEABCV，为定值，故C正确；B1E与BC1不垂直，故D错误. 选ABC11如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l平面MNP的图形为()ABCDAD如图所示，正方体ABCDABCD.连接AC，BDM、P分别为其所在棱的中点，MPAC四边形ABCD为正方形，ACBD，BB平面ABCD，AC平面ABCD，BBAC，ACBD，BDBBB，AC平面DBB，DB平面DBB，ACDB.MPAC，DBMP，同理，可证DBMN，DBNP，MPNP
8、P，MP平面MNP，NP平面MNP，DB平面MNP，即l垂直平面MNP，故A正确在D中，由A中证明同理可证lMP，lMN，又MPMNM，l平面MNP.故D正确故选AD12. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BPBD1，则下面说法正确的是()AMN平面APCBC1Q平面APCCA，P，M三点共线D平面MNQ平面APCBC如图，对于A，连接MN，AC，则MNAC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN平面APC，所以MN平面APC是错误的对于B，由知M，N在平面APC内，由题易知ANC1Q，且AN平面APC，C1Q平面A
9、PC所以C1Q平面APC是正确的对于C，由知，A，P，M三点共线是正确的对于D，由知MN平面APC，又MN平面MNQ，所以平面MNQ平面APC是错误的选BC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为_cm3.36设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x672，所以x2 cm，于是其体积V226636 cm3.14已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为_，体积为_3设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2r2，解得r1，根据勾股定理，得圆锥的高为，所以圆锥的表面积S22123，体
10、积V12.15棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d1d2d3d4的值为_设四面体的高为h，则h，ShS(d1d2d3d4)，d1d2d3d4h.16已知棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1内有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为_由题意知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，侧面积最大时，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，如图所示，设线段AB1上的切点为E，AC1与平面A1BD的交点为O2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E，记为r，设 A
11、B1与平面A1BD的交点为F.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，AC13，A1BBDA1D.由题意知，O2FDF，AO2AC11.由O1EO2F知，AO1O1E，则圆柱的高为32AO132r，S侧2r(32r)44，当r时，圆柱的侧面积取得最大值，最大值为.四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，正方体ABCDABCD的棱长为a，连接AC，AD，AB，BD，BC，CD，得到一个三棱锥求：(1)三棱锥ABCD的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥ABCD的体积 解(1)ABCDABCD是正方体，六个面是互相全等的正方形，
12、ACABADBCBDCDa，S三棱锥4(a)22a2，S正方体6a2，.(2)显然，三棱锥AABD，CBCD，DADC，BABC是完全一样的，V三棱锥ABCDV正方体4V三棱锥AABDa34a2aa3.18(本小题满分12分)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所
13、以BC平面ABD因为AD平面ABD，所以BCAD又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC又因为AC平面ABC，所以ADAC19(本小题满分12分)如图，圆锥的轴截面SAB为等腰直角三角形，Q为底面圆周上一点(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC平面SBQ；(2)若AOQ120，QB，求圆锥的表面积解(1)证明：SQSB，OQOB，C为QB的中点，QBSC，QBOCSCOCC，QB平面SOC又QB平面SBQ，平面SOC平面SBQ.(2)AOQ120，QB，BOQ60，即OBQ为等边三角形，OB.SAB为等腰直角三角形，SB，S侧3，S表S侧S底33(33).2
14、0(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点(1)求证：PA平面BDE；(2)求证：平面PAC平面BDE；(3)若二面角EBDC为30，求四棱锥PABCD的体积解(1)证明：连接OE，如图所示O，E分别为AC，PC的中点，OEPAOE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE.(2)证明：PO平面ABCD，POBD在正方形ABCD中，BDAC又POACO，BD平面PAC又BD平面BDE，平面PAC平面BDE.(3)取OC中点F，连接EF.E为PC中点，EF为POC的中位线，EFPO.又PO平面ABCD，EF平面ABCD，EF
15、BDOFBD，OFEFF，BD平面EFO，OEBD，EOF为二面角EBDC的平面角，EOF30.在RtOEF中，OFOCACa，EFOFtan 30a，OP2EFa.VPABCDa2aa3.21(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，E是PC的中点，F为线段AC上一点(1)求证：BDEF；(2)若EF平面PBD，求的值解(1)证明：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD又四边形ABCD是正方形，所以ACBD又PAACA，所以BD平面PAC又EF平面PAC，所以BDEF.(2)设AC与BD交于点O，连接PO，如图所示因为EF平面PBD
16、，平面PAC平面PBDPO，且EF平面PAC，所以EFPO.又E是PC的中点，所以OFFC，所以AF3FC，即3.22(本小题满分12分)如图(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ.说明理由解(1)证明：D，E分别为AC，AB的中点，DEBC又DE平面A1CB，BC平面A1CB，DE平面A1CB(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，DEAC，DEA1D，DECD，又A1DCDD，DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，DEA1F.又A1FCD，DECDD，A1F平面BCDE，BE平面BCDE，A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，PD，则PQBC又DEBC，DEPQ，平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，A1C平面A1DC，DEA1C又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP.又DEDPD，A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(A1B的中点)，使得A1C平面DEQ.
