1、1.3 可线性化的回归分析明目标、知重点 1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度1常见的非线性回归模型幂函数曲线 yaxb，指数曲线 yaebx.倒指数曲线 yaebx，对数曲线 yabln_x.2非线性函数可以通过变换转化成线性函数，得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性回归方程探究点一 非线性回归模型思考 1 有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？答 首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有的函数知识，观察样本点
2、是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型思考 2 如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？答 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程例 1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高 x/cm60708090100110体重 y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50 身高 x/cm120130140150160170体重 y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05试建立 y 与 x 之间的回归方程解 根据表中数据画出散点图如图所示由图看出，样本点
3、分布在某条指数函数曲线 yc1ec2x 的周围，于是令 zln y.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01画出散点图如图所示由表中数据可得 x 115，y 2.962 5，i112xiyi4 370.5，i112x2i173 000，bi112xiyi12xyi112x2i12 x 20.020，a y bx 0.663，z 与 x 之间的线性回归方程为 z0.6630.020 x，则有 ye0.6630.020 x.反思与感悟 根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某
4、一条指数型函数曲线 yc1ec2x的周围，其中 c1 和 c2 是待定参数；可以通过对 x 进行对数变换，转化为线性相关关系跟踪训练 1 在彩色显影中，由经验知：形成染料光学密度 y 与析出银的光学密度 x 由公式 yAebx(b0 且 a1)Dylogax(a0 且 a1)答案 A1散点图在回归分析中的作用是()A查找个体个数B比较个体数据大小关系C探究个体分类D粗略判断变量是否相关答案 D2变量 x 与 y 之间的回归方程表示()Ax 与 y 之间的函数关系Bx 与 y 之间的不确定性关系Cx 与 y 之间的真实关系形式Dx 与 y 之间的真实关系达到最大限度的吻合答案 D3变量 x，y
5、的散点图如图所示，那么 x，y 之间的样本相关系数 r 最接近的值为()A1B0.5C0D0.5答案 C4某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是_.x/万元24568y/万元3040605070答案(6,50)呈重点、现规律1对于确定具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决建立回归模型的步骤确定研究对象，明确变量关系；画出散点图，观察变量之间的关系；由经验确定回归方程的类型；按一定规则估计回归方程中的参数2常见曲线方程的变换公式曲线方程变换公式变换后的线性方程1yabxy1y，x1xyabxy
6、axbyln y，xln xyAbx(Aln a)yabln xyy，xln xyabxyaebxyln y，xxyAbx(Aln a)一、基础过关1下列说法正确的是()线性回归方程适用于一切样本和总体；线性回归方程一般都有时间性；样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围；根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值ABCD答案 B2某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是()Ay10 x200By10 x200Cy10 x200Dy10 x200答案 A3在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn 不全相等)的
7、散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线 y12x1 上，则这组样本数据的样本相关系数为()A1B0C.12D1答案 D4某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是()Ay2x2By(12)xCylog2xDy12(x21)答案 D解析 可以代入检验，当 x 取相应的值时，所求 y 与已知 y 相差最小的便是拟合程度最高的5对于指数曲线 yaebx，令 uln y，cln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为()AucbxBubcx
8、CybcxDycbx答案 A解析 对方程 yaebx 两边同时取对数，然后将 uln y，cln a 代入，不难得出 ucbx.6在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线 yebxa的周围，令 zln y，求得线性回归方程为 z0.25x2.58，则该模型的回归方程为_答案 ye0.25x2.58解析 z0.25x2.58，zln y，ye0.25x2.58.7.某电脑公司有 6 名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限 x/年35679推销金额 y/万元23345(1)求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程；(2)若
9、第 6 名推销员的工作年限为 11 年，试估计他的年推销金额解(1)设所求的线性回归方程为 ybxa，则 bi15xiyi5 xyi15x2i5 x 210200.5，a y b x 0.4.年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为 y0.5x0.4.(2)当 x11 时，y0.5x0.40.5110.45.9(万元)可以估计第 6 名推销员的年推销金额为 5.9 万元二、能力提升8研究人员对 10 个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家 庭 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿 童 得 分：72,40,52,87,39,95,12,6
10、4,49,46，母 亲 得 分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.下列哪个方程可以较恰当的拟合()Ay0.771 1x26.528By36.958ln x74.604Cy1.177 8x1.014 5Dy20.924e0.019 3x答案 B解析 可以通过画散点图观察知两个变量 x、y 之间大致呈现对数函数关系9已知 x，y 之间的一组数据如下表：x1.081.121.191.25y2.252.372.432.55则 y 与 x 之间的线性回归方程 ybxa 必过点_答案(1.16,2.4)解析 回归方程 ybxa 必过样本点的中心(x，y)，x 1.081.121.
11、191.2541.16，y 2.252.372.432.5542.4，样本点的中心为(1.16,2.4)10已知线性回归方程为 y0.50 x0.81，则 x25 时，y 的估计值为_答案 11.69解析 当 x25 时，y0.50250.8111.69.11在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521如何建立 y 与 x 之间的回归方程解 画出散点图如图(1)所示，观察可知 y 与 x 近似是反比例函数关系设 ykx(k0)，令 t1x，则 ykt.可得到 y 关于 t 的数据如下表：t4210.50.25y1612521画出散点图如图(2)所
12、示，观察可知 t 和 y 有较强的线性相关性，因此可利用线性回归模型进行拟合，易得：t 1.55，y 7.2，i15tiyi94.25，i15t2i21.312 5，b5i1tiyi5 ty5i1t2i5 t 24.134 4，a y b t 0.791 7，所以 y4.134 4t0.791 7，所以 y 与 x 的回归方程是 y4.134 4x0.791 7.12某地区六年来轻工业产品利润总额 y 与年次 x 的试验数据如下表所示：年次 x123456利润总额 y11.3511.8512.4413.0713.5914.41由经验知，年次 x 与利润总额 y(单位：亿元)有如下关系：yabx
13、e0.其中 a、b 均为正数，求 y关于 x 的回归方程(保留三位有效数字)解 对 yabxe0 两边取对数，得 ln yln ae0 xln b，令 zln y，则 z 与 x 的数据如下表：x123456z2.432.472.522.572.612.67由 zln ae0 xln b 及最小二乘法公式，得ln b0.047 7，ln ae02.38，即 z2.380.047 7x，所以 y10.81.05x.三、探究与拓展13某商店各个时期的商品流通率 y(%)和商品零售额 x(万元)资料如下：x9.511.513.515.517.5y64.643.22.8 x19.521.523.525
14、.527.5y2.52.42.32.22.1散点图显示出 x 与 y 的变动关系为一条递减的曲线经济理论和实际经验都证明，流通率 y决定于商品的零售额 x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：yabx.试根据上表数据，求出 a 与 b 的估计值，并估计商品零售额为 30 万元时的商品流通率解 设 u1x，则 yabu，得下表数据：u0.105 30.087 00.074 10.064 50.057 1y64.643.22.8 u0.051 30.046 50.042 60.039 20.036 4y2.52.42.32.22.1进而可得 n10，u 0.060 4，y 3.21，i110u2i10 u 20.004 557 3，i110uiyi10 uy 0.256 35，b 0.256 350.004 557 356.25，a y b u 0.187 5，所求的回归方程为 y0.187 556.25x.当 x30 时，y1.687 5，即商品零售额为 30 万元时，商品流通率为 1.687 5%.
