1、课时提升作业 八反证法与放缩法一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016泰安高二检测)证明命题“a,bN,如果ab可被5整除,那么a,b至少有一个能被5整除”,则假设的内容是()A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a不能被5整除D.a,b有一个不能被5整除【解析】选B.“a,b至少有一个能被5整除”包括“a,b中有且只有一个能被5整除或a,b都能被5整除”,其反面为“a,b都不能被5整除”.【补偿训练】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正确的是()A.三个内角中至少有一个钝角B.三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角都不是钝角或至少
2、有两个钝角【解析】选B.“至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至少有两个”.2.已知a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0,用反证法求证a0,b0,c0时的假设为()A.a0,b0,c0,c0C.a,b,c不全是正数D.abc0,b0,c0的反面是a,b,c不全是正数.3.已知a0,b0,设P=+,Q=,则P与Q的大小关系是()A.PQB.P0,b0,所以P=+=Q,所以PQ.【补偿训练】已知等比数列an的各项均为正数,公比q1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是()A.PQB.P0,a3a9,所以=,故PQ.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016泰安高二检测)用
3、反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:A+B+C=90+90+C180,这与三角形的内角和为180矛盾,故结论错误;所以一个三角形不可能有两个直角;假设ABC有两个直角,不妨设A=B=90;上述步骤的正确顺序是_.【解析】由反证法的证题步骤可知,正确顺序应该是.答案:5.已知aR+,则,从大到小的顺序为_.【解析】因为+=2,+=2,所以2+.答案:【补偿训练】log23与log34的大小关系是_.【解析】log23-log34=-=0,所以log23-log340,所以log23log34.答案:log23log34三、解答题(每小题10分,共30分)6.已知a0,b0,且a+b
4、2.求证:,中至少有一个小于2.【证明】假设,都不小于2,则2,2.因为a0,b0,所以1+b2a,1+a2b.所以2+a+b2(a+b),即2a+b,这与a+b2矛盾.故假设不成立.即,中至少有一个小于2.7.设n是正整数,求证:+n(k=1,2,n),得.当k=1时,;当k=2时,;当k=n时,.所以=+=1.即原不等式成立.8.已知a-1,求证以下三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解.【证明】假设三个方程都没有实根,则三个方程的判别式都小于0,即:所以所以-a-1,这与已知a-1矛盾,所以假设不成立,故三个方程
5、中至少有一个方程有实数解.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016锦州高二检测)(1)已知p3+q3=2,求证p+q2,用反证法证明时,可假设p+q2.(2)已知a,bR,+2,(2)的假设正确.2.设x,y,z都是正实数,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【解析】选C.因为a+b+c=x+y+z+2+2+2=6,当且仅当x=y=z=1时等号成立,所以a,b,c三者中至少有一个不小于2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设M=+,则M与1的大小关系为_.【解析】因为210+1210,210+221
6、0,211-1210,所以M=+=1.答案:M14.(2016石家庄高二检测)某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在0,1上有意义,且f(0)=f(1).如果对于不同的x1,x20,1都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|,那么他的反设应该是_.【解析】对任意x1,x20,1(x1x2)都有|f(x1)-f(x2)|的反面是存在x1,x20,1且x1x2有|f(x1)-f(x2)|.答案:存在x1,x20,1且x1x2使|f(x1)-f(x2)|三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知0a3,0b3,0c,b(3-c),c(3-a).因为a
7、,b,c均为小于3的正数.所以,从而有+.但是+=.显然与相矛盾,假设不成立,故命题得证.【补偿训练】已知f(x)=ax+(a1),证明:方程f(x)=0没有负数根.【证明】假设x0是f(x)=0的负数根,则x00且x0-1且=-,由010-1,解得x02,这与x00矛盾,所以假设不成立.故方程f(x)=0没有负数根.6.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*.(1)求a1的值.(2)求数列an的通项公式.(3)证明:对一切正整数n,有+0,所以S1=2,即a1=2.(2)由-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,得:(Sn+3)Sn-(n2+n)=0,因为an0(nN*),Sn0,从而Sn+30,所以Sn=n2+n,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n,又a1=2=21,所以an=2n(nN*).(3)当kN*时,k2+k2+-=,所以=所以+=-.
