1、普通高中高三教学质量摸底检测考试数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. C分析：根据集合补集运算求出，根据集合交集运算求出.解答：解：由题意得，所以故选：C.2. 复数z满足，则A. B. C. D. B因，所以,选B.3
2、. 已知向量，的夹角为，则（ ）A. B. 3C. D. 12A分析：利用条件进行数量积运算即可求出，从而可得出的值.解答：，故选：A.点拨：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用4. 某校学生的男女人数之比为，按照男女比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本，样本中男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟结合此数据，估计该校全体学生每天运动时间的平均值为（ ）A. 98分钟B. 90分钟C. 88分钟D. 85分钟C分析：根据学生的男女人数之比为，设样本中男生人数为2a，女生
3、人数为3a，利用平均数公式求解.解答：设样本中男生人数为2a，女生人数为3a，则样本容量为5a，又男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟，所以该校全体学生每天运动时间的平均值为,故选：C5. 若正实数，满足，则的最小值是（ ）A. B. C. D. C分析：变形得，然后利用基本不等式的乘“”法计算最小值.解答：变形得，因为，是正实数，则，当且仅当时，取最小值.故选：C.点拨：关键点睛：在基本不等式中，遇到已知条件为时，需要先变形为，然后利用乘“”法展开计算，再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值.6. 已知定义在上的奇函数满足，且在上有，则（ ）A. 2B. C. D. D分析：
4、根据题意可得函数是周期为4的周期函数，结合函数为奇函数可得，代入函数解析式化简即可.解答：解：因为定义在上的奇函数满足，所以，所以，即函数是周期为4的周期函数，又时有，所以故选：D.点拨：函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路：(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性；(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响.7. 在6张奖券中有一等奖奖券1张、二等奖奖券2张、三等奖奖券3张现有3个人抽奖
5、，每人2张，则不同的获奖情况有（ ）A. 15B. 18C. 24D. 90A分析：分两步，第一步分配一等奖奖券，第二步，分配二等奖奖券，可算出答案.解答：第一步：把一等奖奖券分给3人中的一个，有种；第二步：把2张二等奖奖券分配，有两种情况，其中一张给了得一等奖的人，另外一张给了剩下两人中的一人，有种抽一等奖的人没有得二等奖，则两张二等奖奖券分给剩下2人一人一张或者有1人得2张，有种综上：共有种情况故选：A8. 我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系，声音的强度常用（单位：瓦/米，即）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用（单位：分贝）表示，它们满足换算公式：（，其中是人平均
6、能听到的声音的最小强度），国家城市区域噪声标准中规定白天公共场所不超过分贝，则要求声音的强度不超过（ ）A. B. C. D. B分析：令，解此不等式即可得解.解答：令，可得，.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求9. 已知，则下列叙述中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. “”是“”的充分不必要条件D. 命题“，”的否定是“，”BC分析：利用赋值法可判断选项A；去绝对值后可判断选项B；根据充分条件和必要条件的可判断C；根据含有一个命题的否定可判断D.解答：对A，当，时， 不成立，故A错误；对B，因为，即，所以，所以，故B正确；对C，当时，
7、所以，故充分性成立；当，即或，故不一定成立，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对D，命题“，”的否定是“，”，故D错误.故选：BC10. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）A. 样本在区间内的频数为18B. 如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策C. 样本的中位数小于350万元D. 可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间
8、的中点值为代表AB分析：由题意和图形及频率分布直方图的相关公式计算频率、中位数、平均数即可，解答：由图可得样本在区间内的频数为，故A正确；年收入在300万元以内的企业频率为，故B正确；则中位数在之间，设为则，故C不正确；年收入的平均数超过，故D不正确故选：AB点拨：方法点睛：1.谨记频率分布直方图的相关公式：(1)直方图中各小长方形的面积之和为1；(2)直方图中纵轴表示：频率/组距，故每组样本的频率为组距乘以频率/组距，即矩形的面积；(3)直方图中每组样本的频数为频率乘以总数.2.频率分布直方图中数字特征的计算：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面
9、积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.11. 已知函数（其中，）的部分图像，则下列结论正确的是（ ）A. 函数的图像关于直线对称B. 函数的图像关于点对称C. 将函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，则为奇函数D. 函数在区间上单调递增ACD分析：根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.解答：由图象得函数最小值为，故，故，故函数，又函数过点，故，解得，又，即，故，对称轴：，解得，当时，故A选项正确；对称中心：，解得，对称中心为，故B选项错误；函数图像上所有的点向右
10、平移个单位，得到函数，为奇函数，故C选项正确；的单调递增区间：，解得，又，故D选项正确；故选：ACD.12. 定义“正对数函数”：，若，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. ABD分析：由所给的定义即对数的运算性质，根据不同的定义中函数的解析式的不同，对分类讨论，对四个选项逐项判定， 即可求解.解答：对于A中，由定义可得，当时，可得，当时，所以，所以A正确；对于B中，由题意，当时，可得当时，不妨设，则，当时，此时，此时当时，此时，则，所以，当当时，此时，则，所以，综上可得，所以B正确；对于C中，令，可得，由定义知，所以，所以C不正确；对于D中，由定义得，当时，可得，又由，所以；当时，
11、可得，又由，所以；所以D正确.故选：ABD点拨：对于函数的新定义试题的求解：1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解.三、填空题：本题共4小题13. 已知随机变量，若，则_分析：根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线对称轴，利用对称性即可求出.解答：因为，所以正态曲线对称轴为，因为，所以，所以.故答案为：点拨：关键点点睛：本题的关键是充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为1.14. 已知，则_分析：根据题意求出，进而求出，用两角差的正弦公式展开化简即可.解答：解：由，可得，所以，所以故答案为：点拨：应用三角公式化简求值
12、的策略（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.15. 在二项式的展开式中，所有项系数之和为_，含的项的系数是_（用数字作答） (1). (2). 84分析：令，可得所有项系数之和；由通项公式可得含的项的系数.解答：令，得所有项系数之和为；二项式的展开式中的通项为，令，得，所以含的项的系数是.故答案为：；点拨：方法点睛：求二项展开式中的特定项的系数，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求，再将的值代回通项求解，注意的取值范围().16.
13、 已知数列为等差数列，数列为等比数列若集合，集合，集合（，），且，则_5分析：根据题意判断出，根据等比数列的性质可得，根据等差数列的性质，列出等式（或），求出即可.解答：由，其中，可得，则，令，或可得，令中的，根据等差数列的性质可得，所以，根据得出，所以；令中的，根据等差数列的性质可得，所以， 根据得出，所以；同理令中的，根据等差数列的性质可得，所以，与联立可；令中的，根据等差数列的性质可得，所以，与联立可；综上所述.故答案为：.点拨：本题主要考查等差数列、等比数列的性质与集合相等，关键点是判断出，根据等比数列的性质可得，根据等差数列的性质，列出等式（或），考查学生分析问题、解决问题的能力.四
14、、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系（1）已知第天的报名人数为，求关于的线性回归方程，并预测第7天的报名
15、人数（结果四舍五入取整数）（2）该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下列联表：有兴趣无兴趣合计男生45550女生302050合计7525100请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”参考公式及数据：回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：，；，其中0.100.050.01000050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1），25；（2）在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”.分析：（1）利用最小二乘法直接求解
16、回归方程，进而预测第7天的报名人数；（2）根据列联表直接求得，进而判断.解答：解：（1）时间的平均数为，报名人数的平均数为，所以，所以线性回归方程为，把代入得，所以第7天的报名人数约为25（2）由列联表数据可得因为，所以，在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”点拨：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值18. 在中，角，所对的边分别是，（1）求角的大小；（2）若，求的值（1）；（2
17、）.分析：(1)将切化弦，再利用正弦定理及三角形内角和定理化简，即可求出；(2)由可得，由余弦定理并配凑出及，即可求出；也可由及解出，再由余弦定理，即可求出.解答：（1）因为，由正弦定理，得，又，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，即，又，所以.（2）解法一：因，所以，即由余弦定理，得，所以解法二：因为，所以，即，又，所以，解得，或，由余弦定理，得，所以19. 已知数列是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前项和为，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若_，求的前项和，并求的最小值从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题数列满足：，（）；数列的前项和（）；
18、数列的前项和满足：（）注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分（1）；（2）答案见解析.分析：(1)求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；(2)对于由用累乘法求出通项公式，从而得到用裂项相消法求和；对于由用求出通项公式，求出到用错位相减法求和；对于由及得到求出通项公式，得到直接求和解答：解：（1）设数列的公比为，则由，所以，因为，所以，因为，成等差数列，所以，即，所以，所以，所以（2）选择：因为，（），所以（），所以；所以，当时也成立所以，所以，因为是递增的，所以的最小值为，选择：由可知：当时，当时，验证当时亦满足此关系，所以所以所以，两式相减得： 所以，因为是递增的，所以的最小值
19、，选择：因为（），所以（），两式相减得，即（），所以（）而，即所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，当为奇数时，由于，故；当为偶数时，由于，故，由在为偶数时单调递增，所以当时，的最小值为点拨：“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分。20. 已知函数（，且）在处取得极值（1）讨论函数的单调性；（2）判断是否存在实数使得函数的图像与直线相切，若存在，求出的值；若不存在，说明理由（1）答案见解析；（2）存在，
20、或.分析：（1）利用，求出，分类讨论，利用导数可得函数的单调性；（2）假设存在实数使得函数的图像与直线相切，根据，可解得结果.解答：（1）因为，且，得，得，当时，增减增即函数单调递增区间为和，递减区间为当时，减增减即函数单调递增区间为，递减区间为和（2）假设存在实数使得函数的图像与直线相切，设切点的坐标为（），可得，消掉，可得，解得或当时，得；当时，得；综上，存在实数或使得函数的图像与直线相切点拨：关键点点睛：利用导数的几何意义求解是解题关键.21. 某商场在“双十二”进行促销活动，现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3红2白共5个小球，乙盒中有1红4白共5个小球，这些小球除颜色外完全相同有两种活动规
21、则：规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则还从该盒中摸取一个球，若前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）；规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则要从甲盒中摸球一个，若前一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）（1）按照“规则一”，求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望；（2）请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并请说明理由（1）138；（2）选择规则一更有利理由见解析.分析：（1）
22、按规则一，设3次摸球后摸到的红球个数为随机变量，其可能的取值有0，1，2，3，4利用互斥事件以及独立事件同时发生的计算公式分别计算出各个概率的值，并列出分布列，而所求的奖励金额为随机变量，根据期望计算公式即可求解；（2）与（1）同方法可求出规则二的奖励金额的期望，与（1）中的结果相比较，即可知规则一更有利.解答：解：（1）按照规则一，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为，则可以取0，1，2，3，则；随机变量的分布列为：0123在规则一下，顾客摸球获奖励金额的数学期望（2）若选规则二，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为，则可以取0，1，2，3；随机变量的分布列为：0123规则二下顾客摸球获奖励
23、金额的数学期望为，因为，所以选择规则一更有利点拨：方法点睛：与数学期望相关的决策性问题解题步骤：设出随机变量，并写出其所有可能的取值；求出每个随机变量的概率；写出分布列；求出数学期望；针对具体的问题选择合适的方案.22. 已知函数（是自然对数的底数）（1）求函数的最小值；（2）若函数有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围（1）；（2）.分析：（1）求导，令，求得极小值即可. （2）（），当时，易知函数是增函数，不合题意，当时，求导，令，由导数法知是增函数，利用零点存在定理，得到函数有最小值，且，然后由导数法论证在或存在一个零点即可.解答：（1）函数，令，解得当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数有最小值（2）（），当时，函数是增函数，有唯一的零点，与已知矛盾当时，令，则，所以是增函数又，故存在，使，即当时，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以函数有最小值，且,，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，存在使，再，故有且仅有两个不同的零点；当时，此时，有唯一的零点；当时，存在使，再，故有且仅有两个不同的零点综上所述，点拨：方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决
